聚类算法之K-Means，K-Means++，elkan K-Means和MiniBatch K-Means算法流程

聚类问题是机器学习中无监督学习的典型代表，在数据分析、模式识别的很多实际问题中得到了应用。我们知道，分类问题是机器学习中最常见的一类问题，它的目标是确定一个物体所属的类别。分类问题和聚类问题一个最重要的区别在于分类问题有标签，学习过程实际就是程序不断学习各个标签特点的过程，而聚类问题是一种无监督学习问题，我们事先并不知道这些事物一共多少个类，每个事物的所属类别，我们需要让程序基于一定的规则，自动地将事物分为我们需要的类。
我们在进行聚类分析的时候，需要确定无监督学习算法需要决定的三个问题：
1.分成几类？
2.样本之间的距离度量方式？
3.聚类策略？
下面，我们来看一些常用的聚类算法：

一、K-Means

K-Means聚类又叫K均值聚类，是一种迭代求解的聚类分析算法，其步骤是随机选取K个对象作为初始的聚类中心，然后计算每个对象与各个种子聚类中心之间的距离，把每个对象分配给距离它最近的聚类中心。聚类中心以及分配给它们的对象就代表一个聚类。每分配一个样本，聚类的聚类中心会根据聚类中现有的对象被重新计算。这个过程将不断重复直到满足某个终止条件。终止条件可以是没有（或最小数目）对象被重新分配给不同的聚类，没有（或最小数目）聚类中心再发生变化，误差平方和局部最小。

K-Means算法过程：

1.输入数据 $D=\begin{Bmatrix}x_1,x_2,x_3,...,x_m\end{Bmatrix}$ ，聚类的簇数为K，最大迭代次数为N；
2.从 $D$ 中随机选择K个样本作为初始的k个质心： $\begin{Bmatrix}u_1,u_2,u_3,...,u_k\end{Bmatrix}$ ；
3.对于 $n=1,2,3,...,N$ ：
a.将簇划分 $C$ 初始化为： $C_t=\varnothing,t=1,2,...,K$ ;
b.对于 $i=1,2,3,...,m$ ，计算样本 $x_i$ 和k个质心向量的距离： $d_{ij}=||x_i-u_j||$ ，将 $x_i$ 标记为最小的 $d_{ij}$ 所对应的类别 $\lambda_i$ ，此时，更新 $C_{\lambda_i}=C_{\lambda_i}\cup\begin{Bmatrix}x_i\end{Bmatrix}$ ；
c.对于 $j=1,2,3,...,k$ ，对 $C_j$ 中所有的样本点重新计算新的质心： $u_j=\frac{1}{|C_j|}\sum_{x\epsilon C_j}x$ ；
d.如果k个质心都没有发成变化，跳转至步骤4；
4.输出 $C=\begin{Bmatrix}C_1,C_2,C_3,...,C_K\end{Bmatrix}$ ；算法结束。

K-Means的缺点：

1.k的取值较难确定；
2.最终聚类结果不稳定，依赖于初始化质心，结果随机性较大；
3.每次迭代都需要计算所有样本到质心的距离，计算量大，耗时。

二、K-Means++

K-Means++在K-Means基础上有所改进，最主要的区别在于质心的选择上有所不同。

K-Means++算法过程：

1.从输入数据中随机选择一个点作为第一个聚类中心 $u_1$ ；
2.对于数据集中的每一个点 $x_i$ ，计算它与已经选择的聚类中心的距离：
$D(x)=argmin\sum_{k=1}^{k-selected}||x_i-u_r||^2$ ；

3.选择 $D(x)$ 较大的数据点作为一个新的聚类中心；
4.重复2和3，直至选出k个质心；
5.利用k个质心来作为初始质心，运行K-Means算法。

由此可见：K-Means++与K-Means的区别就在于质心的选择上，K-Means++在质心选择时，使质心尽量分散，来降低K-Means算法在质心选择上的随机性。

三、elkan K-Means算法

elkan K-Means算法主要对K-Means算法的效率进行了改进：在K-Means中，每轮迭代都需要计算样本点多所有质心的距离，这一操作很耗时，elkan K-Means算法利用了两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的三角形性质，来减少距离的计算量。

对于一个样本点 $x$ 和两个质心 $u_1$ ， $u_2$ ，预先计算两个质心之间的距离 $D(u_1,u_2)$ ，如果发现 $2D(x,u_1)\leq D(u_1,u_2)$ ，则 $D(x,u_1)\leq D(x,u_2)$ ，这样，就没必要计算 $x,u_2$ 之间的距离了。
所以，对于一个样本 $x$ 和两个质心 $u_1$ ， $u_2$ ， $D(x,u_2)\geq max\begin{Bmatrix}0,D(x,u_1)-D(u_1,u_2)\end{Bmatrix}$ 。