1. 什么是极大似然估计
在日常生活中，我们很容易无意中就使用到极大似然估计的思想，只是我们并不知道极大似然估计在数学中的如何确定以及推导的。下面我们使用两个例子让大家大概了解一下什么是极大似然估计：
（1）猎人师傅和徒弟一同去打猎，遇到一只兔子，师傅和徒弟同时放枪，兔子被击中一枪，那么是师傅打中的，还是徒弟打中的？
（2）一个袋子中总共有黑白两种颜色100个球，其中一种颜色90个，随机取出一个球，发现是黑球。那么是黑色球90个？还是白色球90个？
对于第（1）个问题，由于师傅的技术一般比徒弟高，因此我们会猜测兔子是师傅打中的。对于第（2）个问题，对于颜色有90个的球，我们抽中它的概率更大，因此当抽中为黑色球时，我们便会认为90个的是黑色球。
对于以上两个例子可以看出，我们在进行猜测时，往往认为：概率最大的事件，最可能发生，因此在一次试验中就出现的事件应当具有较大的概率。
2. 极大似然原理及数学表示
极大似然原理是指：若一次试验有 $ n $ 个可能结果 $ A_1, A_2,...,A_n $ ，现在我们做一次试验，试验的结果为 $ A_i $ ，那么我们就可以认为事件 $ A_i $ 在这个 $ n $ 个可能结果中出现的概率最大。
极大似然估计是指：在一次抽样中，样本出现的概率是关于参数 $ \theta $ 的函数，若在一些试验中，得到观测值 $ x_1,x_2,...,x_n $ ，则我们可以选取 $ \hat{\theta}(x_1,x_2,..,x_n) $ 作为 $ \theta $ 的估计值，使得当 $ \theta = \hat{\theta}(x_1,x_2,..,x_n) $ 时，样本出现的概率最大。而极大似然估计就是要求解出参数 $ \theta $ 的估计值。可采用极大似然估计法。
3. 极大似然估计法(Maximum Likelihood Estimation,MLE)
（1）若总体 $ X $ 为离散型
假设分布律为 $ P \lbrace X=x \rbrace = p(x;\theta) $ ，$ \theta $ 为待估计参数，$ p(x;\theta) $ 表示估计参数为 $ \theta $ 时，发生 $ x $ 的概率。
那么当样本值为： $ x_1,x_2,...,x_n $ 时， \[ L(\theta) = L(x_1,x_2,...,x_n;\theta) = \prod_{i=1}^n p(x_i;\theta) \]
其中 $ L(\theta) $ 称为样本的似然函数。
若满足： \[ L(x_1,x_2,...,x_n;\hat{\theta}) = max_{\theta}L(x_1,x_2,...,x_n;\theta) \]
也就是说，当参数 $ \theta = \hat{\theta} $ 时，似然函数可以取最大值，那么 $ \hat{\theta} $ 就叫做参数 $ \theta $ 的极大似然估计值。
（2）若总体 $ X $ 为连续型
假设概率密度为 $ f (x;\theta) $ ，$ \theta $ 为待估计参数。
那么当样本值为： $ x_1,x_2,...,x_n $ 时， \[ L(\theta) = L(x_1,x_2,...,x_n;\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta) \]
其中 $ L(\theta) $ 称为样本的似然函数。
若满足： \[ L(x_1,x_2,...,x_n;\hat{\theta}) = max_{\theta}L(x_1,x_2,...,x_n;\theta) \]
也就是说，当参数 $ \theta = \hat{\theta} $ 时，似然函数可以取最大值，那么 $ \hat{\theta} $ 就叫做参数 $ \theta $ 的极大似然估计值。
4. 极大似然估计法求估计值的步骤：
（1）构造似然函数 $ L(\theta) $ ：
$ L(\theta) =\prod_{i=1}^n p(x_i;\theta) (离散型) ; L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta) (连续型) $
（2）取对数： $ \log L(\theta) $ (以 $ e $ 为底)；
（3）令 $ \frac{\delta \log L(\theta)}{\delta \theta} = 0 $ ；
（4）解似然方程得到 $ \theta $ 的极大似然估计值 $ \hat{\theta} $ 。
5. 极大似然估计法应用
（1）假设一个袋子装有白球与红球，比例未知，现在抽取10次（每次抽完都放回，保证事件独立性），假设抽到了7次白球和3次红球，在此数据样本条件下，可以采用最大似然估计法求解袋子中白球的比例。
求解过程：
该试验属于二项分布，我们定义 $ M $ 为模型，抽到白球的概率为 $ \theta $ ，而抽到红球的概率为 $ 1- \theta $ ，因此10次抽取抽到白球7次红球3次的概率(似然函数)为： \[ L(\theta) = \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \\ \end{pmatrix} P(x_1,x_2,...,x_{10}|M) = \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \\ \end{pmatrix} P(x_1|M) \times P(x_2|M) \times ... \times P(x_{10}|M) = \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \\ \end{pmatrix} \theta^7(1-\theta)^3 \]
其对数似然函数为: \[ \log L(\theta) = \log [ \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \\ \end{pmatrix} \theta^7(1-\theta)^3 ] \]
求 \[ \frac{\delta \log L(\theta)}{\delta \theta} = 0 \]
即 \[ 7\theta^6(1-\theta)^3 - 3\theta^7(1-\theta)^2 = 0 \implies \theta = 0.7 \] ，
二项式系数为常数，在求导过程中会被抵消。
故白球的比例为 $ 0.7 $ 。
（2）设总体 $ X ~ N(\mu, \sigma^2) $ ，$ \mu, \sigma^2 $ 为未知参数，$ x_1,x_2,...,x_n $ 是来自 $ X $ 的一个样本值，求 $ \mu, \sigma^2 $ 的极大似然估计值。
求解过程：
X的概率密度为： \[ f(x;\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
似然函数为： \[ L(\mu,\sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
取对数为： \[ \log L(\mu,\sigma^2) = -\frac{n}{2} \log (2\pi) - \frac{n}{2} \log \sigma^2 - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \]
令 \[ \begin{cases} \frac{\delta}{\delta \mu} \log L(\mu,\sigma^2) = 0 \\ \frac{\delta}{\delta \sigma^2} \log L(\mu,\sigma^2) = 0 \end{cases} \]
即 \[ \begin{cases} \frac{1}{\sigma^2}[\sum_{i=1}^n x_i - n \mu] = 0 \\ - \frac{n}{2 \sigma^2}+ \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 = 0 \end{cases} \]
求得参数估计值为： \[ \begin{cases} \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i =\overline{x} \\ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 \end{cases} \]
引用及参考：
[1] https://www.jianshu.com/p/f1d3906e4a3e
[2] https://blog.csdn.net/zengxiantao1994/article/details/72787849
[3] https://wenku.baidu.com/view/0d9af6aa172ded630b1cb69a.html
[4] https://www.cnblogs.com/xing901022/p/8418894.html
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