秒懂机器学习---机器学习无法逃避的梯度下降法

一、总结

一句话总结：

梯度下降法有其缺陷，但是可以和其它算法配合使用，比如模拟退火等。

1、导数的几何意义是什么？

斜率：导数又叫微分，是图像的斜率。

2、复合函数（比如z=f[u(x,y),v(x,y)]）的偏导数的链式求导法则是怎样的？

δz/δx=(δz/δu)(δu/δx)+(δz/δv)(δv/δx)

3、偏导数的几何意义是什么？

曲面无数条切线中的一条：多远看书表示的是高维空间中的曲面。而曲面上的每一点都有无穷多条切线，而求偏导数就是选择其中的一条切线。

4、梯度的定义是什么？

某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值：（梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模））

单变量中表示导数或斜率：在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

5、梯度是向量还是标量？

向量

6、多元函数中的梯度分别为什么？

偏导数：一个n元函数f关于n个变量的偏导数

三元函数f的梯度为(fx,fy,fz)，二元函数f的梯度为(fx,fy），一元函数f的梯度为fx

要明确梯度是一个向量，是一个n元函数f关于n个变量的偏导数，比如三元函数f的梯度为(fx,fy,fz)，二元函数f的梯度为(fx,fy），一元函数f的梯度为fx。然后要明白梯度的方向是函数f增长最快的方向，梯度的反方向是f降低最快的方向。

7、梯度下降的场景假设？

浓雾环境找山谷：一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。

从陡峭处往非陡峭处走：以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

二、机器学习之梯度与梯度下降法

转自或参考：机器学习之梯度与梯度下降法
https://blog.csdn.net/qq_20412595/article/details/81409744

1.导数

导数的几何意义：导数又叫微分，是图像的斜率。

多元函数的偏导数

偏导数的几何意义

2.梯度

梯度的定义

来自百度：（梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模））

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

（注意：梯度是一个向量）

3.梯度下降法

梯度下降的场景假设

引用《作者：六尺帐篷》

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。假设这样一个场景：一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。

首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向(在后面会详细解释)，所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。

梯度下降算法的数学解释

此公式的意义是：J是关于Θ的一个函数，我们当前所处的位置为Θ0点，要从这个点走到J的最小值点，也就是山底。首先我们先确定前进的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距离的步长，也就是α，走完这个段步长，就到达了Θ1这个点！

α是什么含义？

α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，不要走太快，步长太大会错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，太小的话半天都无法收敛。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！