MTT小结 | 易学教程

前言

随便乱写，意识流警告，反正只是当个板子
因为要写long double所以可能比普通7次的FFT还要慢？！
站在常数的底端.jpg

MTT

假设我们要求 $A(x)*B(x)$
先把P拆成 $\sqrt P$ ，每个数拆成 $a*\sqrt p+b$ ，然后分别求FFT，最后组合起来
这样要7次
我们可构造 $P(x)=A(x)+iB(x),Q(x)=A(x)-iB(x)$
可以发现 $Q(\omega^k)=conj(P(\omega^{n-k}))$
于是我们只需要对P求一遍DFT就知道了对Q求DFT的结果
然后知道了P和Q的点值我们就能还原A和B的点值
然后构造 $M=A(x)+iB(x)$ ，IDFT回去可以发现M的实部是A(x)的插值，虚部是B(x)的插值
然后就只用4次了

Code

const db pi=acos(-1);

struct Com{
	db r,i;
	Com (db _r=0,db _i=0) {r=_r;i=_i;}
	friend Com operator + (Com x,Com y) {return Com(x.r+y.r,x.i+y.i);}
	friend Com operator - (Com x,Com y) {return Com(x.r-y.r,x.i-y.i);}
	friend Com operator * (Com x,Com y) {return Com(x.r*y.r-x.i*y.i,x.r*y.i+x.i*y.r);}
}t1[N],t2[N],t3[N],t4[N];

Com conj(Com a) {return Com(a.r,-a.i);}

void DFT(Com *a,int len,int flag) {
	fo(i,0,len-1) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<len;i<<=1) {
		Com wn=Com(cos(pi/i),flag*sin(pi/i));
		for(int j=0;j<len;j+=i<<1) {
			Com w=Com(1,0);
			for(int k=0;k<i;++k,w=w*wn) {
				Com u=a[j+k],v=w*a[j+k+i];
				a[j+k]=u+v;a[j+k+i]=u-v;
			}
		}
	}
	if (flag==-1) fo(i,0,len-1) a[i].r/=len,a[i].i/=len;
}

void mult(int *a,int *b,int *c,int n) {
	int lg,len;
	for(lg=0,len=1;len<=n;len<<=1) lg++;
	fo(i,0,len-1) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(lg-1));
	fo(i,0,len-1) t1[i]=t2[i]=t3[i]=t4[i]=Com(0,0);
	fo(i,0,n) t1[i]=Com(a[i]&M,a[i]>>15),t2[i]=Com(b[i]&M,b[i]>>15);
	DFT(t1,len,1);DFT(t2,len,1);
	fo(i,0,len-1) {
		int j=(len-i)&(len-1);
		Com da=(t1[i]+conj(t1[j]))*Com(0.5,0);// a%r
		Com db=(t1[i]-conj(t1[j]))*Com(0,-0.5);// a/r
		Com dc=(t2[i]+conj(t2[j]))*Com(0.5,0);// b%r
		Com dd=(t2[i]-conj(t2[j]))*Com(0,-0.5);// b/r
		t3[i]=da*dc+da*dd*Com(0,1);
		t4[i]=db*dc+db*dd*Com(0,1);
	}
	DFT(t3,len,-1);DFT(t4,len,-1);
	fo(i,0,n) {
		int ka=(ll)(t3[i].r+0.5)%Mo,kb=(ll)(t3[i].i+0.5)%Mo;
		int kc=(ll)(t4[i].r+0.5)%Mo,kd=(ll)(t4[i].i+0.5)%Mo;
		c[i]=((ll)ka+((ll)(kb+kc)<<15)+((ll)kd<<30))%Mo;
	}
}

来源：CSDN

作者：alan_cty

链接：https://blog.csdn.net/alan_cty/article/details/88430959

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mtt