1. det($\mathbf{I}$) = 1
2. 交换行列式的行，行列式符号变换。 即，置换矩阵 det($\mathbf{P}$)=1 或 -1
并且，行列式的置换是区分奇偶的，奇数次变换只能通过奇数次变换等价，而不能通过偶数次变换得到。
3. a. 一个数乘以行列式的一行，结果等于乘以行列式的值。
$\begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d \end{vmatrix}$= t $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$
b.det(A+B) $\ne$ det(a) +det(B)，但是，行列式的每一行是线性的，即
$\begin{vmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{vmatrix}$= $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix}a' & b' \\ c & d\end{vmatrix}$
4. 有两行相等的行列式为0
5. 含有行为0的行列式为0
6. 一行减去另一行的倍数，行列式不变。
$\begin{vmatrix}a & b \\ c-la & d-lb\end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix}a & b \\ -la & -lb\end{vmatrix}$ =$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$
7. 三角行列式的值等于主元素的乘积
8. det($A$) = 0， 当且仅当 $A$ 是奇异的
9. det($A\cdot B$) = det($A$)det($B$)
10. det($A'$) = det($A$)
证明： 另 $A = L U$
$|A'| = |U'L'| = |U'||L|=|U||L|=|A|$
来源：https://www.cnblogs.com/sybear/p/10848634.html