关系数据理论

关系名R是符号化的元组语义

U为一组属性

D为属性组U中的属性所来自的域

DOM为属性到域的映射

F为属性组U上的一组数据依赖（关系内部属性与属性之间的一种约束关系，主要分函数依赖和多值依赖）

由于D、DOM与模式设计关系不大，本博客中把关系模式看作一个三元组：R<U,F>

一、问题提出

数据库设计的不好可能导致多个问题：冗余，修改异常，插入异常，删除异常

数据依赖与冗余

数据依赖是关于诸属性值之间内在相关性的陈述，它规定了关系模式的合法关系实例所必须满足的条件，可分为函数依赖和多值依赖

依赖和冗余是密不可分的：承认某种数据依赖，就能发现关系中的某些冗余；而不承认数据之间的依赖关系，也没理由认为某些信息是多余的

冗余的产生原因和处理总是联系在一起

二、函数依赖

2.1定义

字母表开头的大写字母 A,B,…,H表示单个属性

字母表尾部的大写字母 U,V,…,Z一般表示属性集，也可能是由单个属性构成的集合。U常用于表示关系的全部属性组成的集合

串接表示并。A1A2…An表示集合 {A1,A2,…,An}，XY是 X 

 Y的缩写，若 A是单个属性，X是属性集，则 XA或 AX表示 X 

 {A}

R表示关系模式

r 表示关系，它是关系模式 R的某个实例

2.2函数依赖类型

2.2.1函数依赖

设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r 中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作X→Y

解释：若在一张表中，属性或属性组X确定，必定能确定属性Y的值，则称Y函数依赖于X，记做X->Y

举例：在学生表ST中通过学号能唯一确定一个姓名，则姓名函数依赖于学号

学生表ST

学号	姓名	性别
1	张三	男

2.2.2平凡函数依赖与非平凡函数依赖

定义：设一个关系为R(U)，X和Y为属性集U上的子集，若X→Y且X不包含Y，则称X→Y为非平凡函数依赖，否则若X包含Y则必有X→Y，称此X→Y为平凡函数依赖

举例：在学生表ST中，学号总能函数决定它本身，记作“学号→学号”，此为平凡函数依赖。（学号，性别）->性别与（学号，性别）->学号也是平凡函数依赖

通常，我们主要讨论的是非平凡函数依赖：如学生表ST中学号函数决定的其他属性都是非平凡函数依赖

2.2.3完全函数依赖与部分函数依赖

1、完全函数依赖

定义：设X，Y是关系R的两个属性集合，X' 是X的真子集，存在X→Y，但对每一个X' 都有X' !→Y，则称Y完全函数依赖于X

解释：在一张表中，若 X → Y，且对于 X 的任何一个真子集（假如属性组 X 包含超过一个属性的话），X' → Y 不成立，那么我们称 Y 对于 X 完全函数依赖

举例：在成绩表SG中，成绩完全函数依赖于（学号，CID（课程号））

成绩表SG

学号	CID(课程号)	成绩
1	1	80

2、部分函数依赖

定义：设X，Y是关系R的两个属性集合，存在X→Y，若X' 是X的真子集，存在X' →Y，则称Y部分函数依赖于X

解释：假如 Y 函数依赖于 X，但同时 Y 并不完全函数依赖于 X，那么我们就称 Y 部分函数依赖于 X

举例：学生表ST中（学号，姓名）->性别，但是存在学号->性别，所以称性别部分依赖于（学号，姓名）

2.2.4传递函数依赖

定义：设X，Y，Z是关系R中互不相同的属性集合，存在X→Y(Y !→X)，Y→Z，则称Z传递函数依赖于X

解释：假如 Z 函数依赖于 Y，且 Y 函数依赖于 X （严格来说还有一个X 不包含于Y，且 Y 不函数依赖于Z的前提条件），那么我们就称 Z 传递函数依赖于 X

举例：关系S1（学号，系名，系主任），学号 → 系名，系名 → 系主任，并且系名 !→ 学号，所以学号 → 系主任为传递函数依赖

 

2.3函数依赖的推导

2.3.1 Armstrong公理

自反律：如果 Y 

 X

 U，则 X->Y成立

增广律：如果

X->Y成立，并且 Z

 U，则 XZ->YZ成立

传递律：如果

X->Y和 Y->Z成立，则 X->Z成立

附加的推理规则

合并规则：如果

X->Y和 X->Z成立，则 X->YZ成立

伪传递规则：如果

X->Y和 WY->Z成立，则 WX->Z成立

分解规则：如果

X->Y成立，并且 Z

 Y，则 X->Z成立

2.3.2属性集的闭包

使用 Armstrong公理由 F导出的函数依赖都被 F逻辑蕴含

1、定义

对F，F+中所有X→A的A的集合称为X的闭包，记为X+。可以理解为X+表示所有X可以决定的属性

2、计算

输入：关系模式 R(U)上的函数依赖集 F和属性集 X

 U

输出：属性集 X闭包X+

方法

result=X;  repeat      for(F中的每个函数依赖 Y->Z) do          if(Y包含于 result) then result=result U Z;  until (result不改变);  输出 result;

例：R={A,B,C,G,H,I}，F={A->B,A->C,CG->H,CG->I,B->H}，求 (AG)+

解：

result=AG   先把式子本身包含在闭包中

result=ABCG   (A->C and A->B)

result=ABCGH   (CG->H and CG

 AGBC)

result=ABCGHI   (CG->I and CG

 AGBCH)

2.3.3函数依赖集的极小覆盖

1、定义

如果函数依赖集F满足以下条件，则称F为一个极小函数依赖集，也称为最小依赖集或最小覆盖

1. F中任一函数依赖的右部仅含一个属性
2. F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价
3. F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}与F等价

2、计算

输入：函数依赖集 F

输出：函数依赖集 F的极小覆盖 Fm

方法

1. 右部极小化：对于 F中的每个函数依赖 X->Y。若Y=A1...Ak(k>2)，则用 k个函数依赖 X->A1,...X->Ak取代 X->Y。经过该步骤后，F中的函数依赖右部都是单个属性
2. 左部极小化：对于 F中的每个函数依赖 X->B。不妨设 X=A1...Am。逐一考查 Ai ( i =1,2,...,m)，如果 B 
   
    (X-Ai)+，则用 X-Ai 取代 X->B中的 X
3. 规则个数极小化：对于 F中的每个函数依赖 X->A。另 G=F-{X->A}，若A 
   
    X+，则从 F中删除函数依赖 X->A

例：R={A,B,C,D,E,F}，F={AD→E,AC→E,BC→F,BCD→A,BCD→F,BD→A,AB→F,A→C}，求F的最小函数依赖集

解：

1. 对于AD→E，因为(AD)的闭包 = ADCE, 又因为ACDE 包含E，所以AD→E 冗余   F1={AC→E,BC→F,BCD→A,BCD→F,BD→A,AB→F,A→C}
2. 对于AC→E，因为(AC)的闭包＝AC，又因为AC不包含E，所以AC→E不冗余   F2={AC→E,BC→F,BCD→A,BCD→F,BD→A,AB→F,A→C}
3. 对于BC→F，因为(BC)的闭包＝BC，又因为BC不包含F，所以BC→F 不冗余   F3={AC→E,BC→F,BCD→A,BCD→F,BD→A,AB→F,A→C}
4. 对于BCD→A，因为(BCD)的闭包 = ABCDEF，又因为ABCDEF包含A，所以BCD→A 冗余   F4={AC→E,BC→F,BCD→F,BD→A,AB→F,A→C}
5. 对于BCD→F，因为(BCD)的闭包 = ABCDEF，又因为ABCDEF包含F，所以BCD→F 冗余   F5={AC→E,BC→F,BD→A,AB→F,A→C}
6. 对于BD→A，因为(BD)的闭包 = BD，又因为BD不包含A，所以BD→A 不冗余   F6={AC→E,BC→F,BD→A,AB→F,A→C}
7. 对于AB→F，因为(AB)的闭包 = ABCDEF，又因为ABCDEF包含F，所以AB→F 冗余   F7={AC→E,BC→F,BD→A,A→C}
8. 对于A→C，因为A的闭包=A，又因为A不包含C，所以A→C 不冗余。故F的最小函数依赖集为{AC→E,BC→F,BD→A,A→C}

三、范式

3.1码

设K为R<U,F>中的属性或属性组合。若K

 U，则K称为R的一个候选码

如果U部分函数依赖于K，则K称为超码。候选码是最小的超码，即K的任意一个真子集都不是候选码

若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码

包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性，其余称为非主属性

整个属性组是码，称为全码

关系模式 R中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外码

3.2范式种类

范式是符合某一级别的关系模式的集合

各种范式之间存在联系

​

• 某一关系模式R为第n范式，可简记为R∈nNF

一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化

3.2.1 1NF

条件：每个分量必须是不可分开的数据项

解释：在一列中不能插入两个及以上不同属性的值

3.2.2 2NF

定义：对于任意的非平凡函数依赖 X->A 

 F+，必须满足下列两个条件之一：A是主属性，或 X不是 R的任何码的真子集

解释：第二范式（2NF）要求数据库表中的每个实例或记录必须可以被唯一地区分。选取一个能区分每个实体的属性或属性组，作为实体的唯一标识，即要有主码

举例：如果在成绩表SG中添加一列姓名变成下面这样，SG表的主码是学号加CID(课程号)，但是（学号）->姓名，所以姓名部分函数依赖于（学号，CID(课程号)），不符合2NF

成绩表SG

学号	CID(课程号)	成绩
1	1	80

成绩表SG 2.0

学号	CID(课程号)	成绩	姓名
1	1	80	张三

3.2.3 3NF与 BCNF

1、3NF

定义：对于任意的非平凡函数依赖 X->A 

 F+，必须满足下列两个条件之一：A是主属性，或 X是 R的码（在2NF基础上消除传递依赖）

解释：第三范式（3NF）要求一个关系中不包含已在其它关系已包含的非主属性信息

举例：如果在课程表SC中添加一列老师姓名，变成如下，存在CID(课程号)->TID(授课老师ID)，TID(授课老师ID)->教师姓名，TID(授课老师ID) !->CID(课程号)，所以教师姓名传递函数依赖于CID(课程号)，不满足3NF，但是满足2NF，主码是CID

课程表SC

CID (课程号)	课程名称	TID(授课老师ID)	学分
1	数学	1	2

课程表SC 2.0

CID (课程号)	课程名称	TID(授课老师ID)	学分	教师姓名
1	数学	1	2	李四

2、BCNF

对于任意的非平凡函数依赖 X->A 

 F+，X是 R的码

---

范式总结

• 1NF：关系模式的任何一个属性都是原子属性
• 2NF：任一个非主属性都不能依赖于码的一部分
• 3NF：任一个非主属性都不能传递依赖与码
• BCNF：非主属性和主属性都不能依赖于码的一部分或传递依赖于码

四、关系模式分解

4.1无损连接分解

检测无损分解的连接性

输入：关系模式 R(A1,A2,...,An)，R的函数依赖集 F和分解 

 ={R1,R2,...Rk}

输出：

 是否是关于 F的无损连接分解的判定

方法

1. 建立一张 n列 k行的表，每一列对应一个属性，每一行对应一个关系模式。若属性Aj 
   
    Ri，则表的第 i 行第 j 列上为 aj，否则为 bij
2. 重复如下过程，直到表不再变化：在每一轮，考察每个 X->Y
   
    F。如果表中存在两行或多行在 X的属性上对应相同，则按如下方法使得这些行在 Y上的符号相同：对于每个 Aj
   
    Y，如果这些行存在 aj，则将这些行的第 j 列都改为 aj，否则将它们都改为 bij，其中 i 是这些行的最小行号
3. 如果存在一行是a1...an，则 
   
    是无损连接分解，否则不是

例：关系模式 R(A,B,C,D,E)的分解是 

 ={R1(A,B,C), R2(C.D), R3(D,E)}，其中 R的函数依赖集 F={AB->C,C->D,D->E}

解：

构造初始表

A	B	C	D	E
a1	a2	a3	b14	b15
b21	b22	a3	a4	a5
b31	b32	b33	a4	a5

得出最终表

A	B	C	D	E
a1	a2	a3	a4	a5
b21	b22	a3	a4	a5
b31	b32	b33	a4	a5

第一行是a1a2a3a4a5，所以 

 是无损连接分解

如果 R被分解成两个关系模式 R1和 R2，可用如下简单方法进行判定

设 

 ={R1,R2}是关系模式 R的一个分解，F是 R上的函数依赖集。

 关于 F是无损连接分解当且仅当：

(R1 

R2) -> (R2 - R1) 或 (R1 

R2) -> (R2 - R1)

4.2保持函数依赖的分解

输入：关系模式 R的函数依赖集 F和分解 

 ={R1,R2,...,Rk}

输出：

 是否保持函数依赖的判定

方法

for (每个 X->Y包含于 F) do  begin      if (不存在 i使得 XY包含于 Ri) then  --检验 X->Y是否被分解 p所保持      begin          Z=X;          repeat              for i=1 to k do                  Z=Z 并 ((Z 交 Ri)+ 交 Ri);          until (Z不发生变化);          if (Y不是 Z的子集) then   -- X->Y不被分解 p所保持              return p不是保持函数依赖的分解;      end;  end;

---

无损连接是对关系模式分解的基本要求。不具有无损链接性的分解是有害的，因为分解前后的关系模式可能不能反应相同的现实世界

保持函数依赖的分解是对关系模式分解的进一步要求。实践中应当在确保无损连接性的前提下尽可能地追求保持函数依赖。如果两者不可兼得，优先考虑无损连接分解

五、关系模式分解成高级范式

任意关系模式都可以无损连接地分解成 BCNF

如果要求分解保持函数依赖，或者保持函数依赖并且具有无损连接性，则只能保证分解到 3NF

5.1具有无损连接性的 BCNF分解

只包含两个属性的关系模式一定是 BCNF

输入：关系模式 R及 R的函数依赖集 F

输出：R的 BCNF分解，它关于 F具有无损连接性

方法

result={R}  while (存在 Ri属于 result，但 Ri不是 BCNF)  begin      找出 Ri中满足如下条件的非平凡函数依赖：X->Y属于F+，且 X不是 Ri的超码;      result={Ri1(XY),Ri2(Ri-Y)};   --之后分别对新产生的模式进行该操作  end  return result;

例、关系模式R<U,F>，其中：U={A,B,C,D,E}，F={A→C,C→D,B→C,DE→C,CE→A}，将其分解成BCNF并保持无损连接

解：

L: ACBDE   R: CDA N:      LR: ACD

①令ρ={R(U,F)}

②ρ中不是所有的模式都是BCNF，转入下一步

③分解R：R上的候选关键字为BE（因为所有函数依赖的右边没有BE）

   考虑A→C函数依赖不满足BCNF条件（因A不包含候选键BE），将其分解成R1(AC)、R2(ABDE)

   计算R1和R2的最小函数依赖集分别为：F1={A→C}，F2={B→D,DE→D,BE→A}

   其中B→D是由于R2中没有属性C且B→C,C→D；DE→D是由于R2中没有属性C且DE→C,C→D；BE→A是由于R2中没有属性C且B→C,CE→A。又由于DE→D是蕴含关系，可以去掉，故F2={B→D, BE→A}

5.2具有无损连接性和保持函数依赖的 3NF分解

对于给定的关系模式 R，先计算 F的极小覆盖（转顶部链接内容：2.3.3函数依赖集的极小覆盖）

对于极小覆盖中的每个函数依赖，只要依赖的左侧相同，则合并这些函数依赖的所有属性构成一个单独的模式

如果关系模式 R中存在没有出现在函数依赖集中的元素，这些元素合并构成一个单独的模式

如果上面两步得出的结果中不包含候选码，则候选码单独构成一个模式（尽管候选码被拆散到多个模式中也不算）

例、关系模式R<U,F>，其中U={C,T,H,R,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，将其分解成3NF并保持函数依赖

解：

(一)计算F的最小函数依赖集

①利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖。由于F的所有函数依赖的右边都是单个属性，故不用分解

②去掉F中多余的函数依赖 F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}

   去掉F中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖），没有发现左边有多余属性的函数依赖

   故最小函数依赖集为：F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}

(二)由于R中的所有属性均在F中都出现，所以转下一步

(三)对F按具有相同左部的原则分为：

F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}

R1=CSG，R2=CT，R3=THR，R4=HRC，R5=HSR

所以 ρ={ R1(CSG), R2(CT), R3(THR), R4(HRC), R5(HSR) }

来源：https://www.cnblogs.com/E-mperor/p/11348720.html