最短路径：单源最短路径与差分约束系统

学习自《算法导论》和Wiki

无权/权=1：BFS ——O(V+E)
有向图(非负边)：Dijkstra——O(E+VlgV)
有向图(无环)：Dijkstra——O(V+E)
一般(可正可负可环)：Bellman-Ford———O(VE)
优化：SPFA

一丶BFS

BFS(G,s)
{
//初始化
 foreach(v∈G.V){ v.visit=0;u.d=NIF; u.path=nil}
 s.d=0;s.path=nil;s.visit=1;
 //根节点进队
 enqueue(Q,s)
 while(Q not empty){
   u=dequeue(Q)
   foreach(v∈Adj[u])
    if(visit[v]==0) 
    {
      d.v=d.u+1;
      v.path=u;
      v.visit=1;
      enqueue(Q,v);
	}
  }

复杂度分析

1.初始化成本O(V)
2.队列操作总时间为O(V)
3.每个结点进队和出队一次，只有出队时候才进行扫描，每个邻接链表最多扫描一次，所以用于扫描邻接表的总时间为O(E)

所以O(V+E)

---

松弛操作

每个结点v来说，我们维持一个属性v.d，用来记录从源节点s到节点v的最短距离估计,v.path记录v的前驱节点
我们使用init_single_source(G,s)对最短路径估计进行和前驱节点进行初始化

init_single_source(G,s)
{
	foreach(v∈G.V) 
	{
		d[v]= INF
		v.path=NIL
	}
	s.d=0
}

Relax(u,v,w)
{
	if(v.d>u.d+w(u,v))
	{
		v.d=u.d+w(u,v)
		v.path=u
	}
}

松弛操作首先尝试是否可以改善s,v的最短路径，可以就改善，所以松弛操作可以降低最短路径估计，更新前驱节点
后面的Dijkstra、Bellman-Ford、DAG都会使用init_single_source(G,s)，然后重复的对边进行Relax(u,v,w)。不同之处在于Dijkstra和DAG对每条边仅松弛一次，而Bellman-Ford对每条边松弛|V|-1次

后面有证明

二丶Dijkstra

使用了广度优先搜索解决赋权有向图的单源最短路径问题
下图来自wiki

单源最短路径可以使用贪心证明

也就是证明局部最优达到全局最优证明
updating~~~

图解释

Dijkstra算法有两个点集合，一个就是已经知道了路径的S，还有就是未知的G-S，
图中绿色点表示现在S可以直连的，也知道这些连接点边的长度
图中红色点表示现在S不可以直连的，也不知道这些连接点边的长度，必须等其他点加入S后才能获取
图中黑色点表示根本连接不上的点，不在一个连通分量中

Dijkstra 算法使用的就是单源最短路径贪心性质，每次选择S连接到的绿色点的路径集合中权值和最小的，然后把那个点u加入S
然后更新u的不属于S集合的邻居

Pseudocode

Dijkstra(G,W,s)
{
	init_single_source(G,s)
	Q=G.V
	while(Q not empty)
	{
		u=Extract_Min(Q)
		foreach(v∈Adj[u])
		  if(v∈Q) 
		  	Relax(u,v,w)
	}
}

//这里Relax有一些其余操作使用优先队列需要Decrease_key(v)
Relax(u,v,w)
{
	if(v.d>u.d+w(u,v))
	{
		v.d=u.d+w(u,v)
		Decrease_key(v)
		v.path=u
	}
}

正确性证明

---

三丶DAG

DFS(G,s)
{
	foreach(v∈G.V){ v.visit=0;u.d=NIF; u.path=nil}
 	s.visit=0;s.d=NIF; s.path=nil
	foreach(u∈Adj[s])	
		if (u.visit!=1) 
		{	
			u.visit=1
			DFS(G, u)			
		}
}

DAG_SP(G,w,s)
{
	topologicalSort(G) //拓扑排序另一篇有讲
	init_single_source(G,s)
	foreach(v∈G.V)
		foreach(v∈Adj[u]) 
			Relax(u,v,w)
}

---

四丶Bellman_Ford

关键是这个算法可以用于分布式系统，因为操作纯粹是局部的，松弛也是局部的，你不需要任何整体策略，上面我们对于每条边的更新是固定顺序，我们完全可以选择随机顺序，我们只要不断松弛边，最终这个算法可以保证在|V|-1次找到最短路径，虽然分布式系统可能不是同步的，而且分析也复杂一些，但还是行得通，最终会收敛。经常用于求网络上的最短路径比如结点就是网络机器，连线就是线路，在计算机网络中距离矢量路由就是用的这种道理

Pseudocode

Bellman_Ford(G,W,s)
{
	init_single_source(G,s)
	
	for(i:1->|V|-1)
		foreach((u,v)∈G.E)
			Relax(u,v,w)
			
	foreach((u,v)∈G.E) //n次操作仍可降低花销，就一定存在负权环
		if(v.d>u.d+w(u,v))
			say("error")
}

也就是我们假设s->u->…->v w为最短路径，按照s~>v最短路径边依次序进行松弛，最后v.d=δ(s,v)
证明：根据路径松弛性质，很容易证明正确性

因为即使是最坏的情况，如图1，每一轮对所有边进行松弛只得到一个点的最短路径，那么|V|-1轮，肯定|V|个结点都能得到，何况更好的情况，如图2

负权环判定
因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第 n次操作仍可降低花销，就一定存在负权环

---

五丶SPFA

SPFA算法的基本思路与贝尔曼-福特算法相同，即每个节点都被用作用于松弛其相邻节点的备选节点。相较于贝尔曼-福特算法，SPFA算法的提升在于它并不盲目尝试所有节点，而是维护一个备选节点队列，并且仅有节点被松弛后才会放入队列中。整个流程不断重复直至没有节点可以被松弛。

SPFA(G,W,s)
{
	init_single_source(G,s)
	Q.push(v);
	while(Q not empty){
		u=pop(v)
		foreach((u,v)∈G.E)
			Relax(u,v,w) //需要将Relax加一句 
	}
			
	foreach((u,v)∈G.E) //n次操作仍可降低花销，就一定存在负权环
		if(v.d>u.d+w(u,v))
			say("error")
}

//这里Relax有一些其余操作使用优先队列需要
Relax(u,v,w)
{
	if(v.d>u.d+w(u,v))
	{
		v.d=u.d+w(u,v)
		v.path=u
		if(v!∈Q) Q.push(u);
		
	}
}

判断有无负环：

如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环

---

单源最短路径问题的父亲————差分约束系统（线性规划）【引用wiki】

是求解关于一组变数的特殊不等式组方法
求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径问题。观察 x_j- x_i≤b_k ，会发现它类似最短路中的δ(s,v)≤δ(s,u)+w(u,v)，δ(s,v)-δ(s,u)≤w(u,v)。因此，以每个变数X_i为结点，对于约束条件 x_j- X_i≤b_k，连接一条边 (i,j)，边权为 b_k。再增加一个原点S与所有定点相连，边权均为0。对这个图以s为原点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终d[i]即为一组可行解。

---

附属知识

三角不等式：δ(s,v)≤δ(s,u)+w(u,v)
证明引理1：(u,v)进行松弛操作后v.d≤u.d+w(u,v)

证明上界引理：任意次松弛操作v.d≥δ(s,v)且v.d=δ(s,v)后不会变小

证明收敛性质：s~>u->v是一条最短路径，如果送至(u,v)之前有u.d=δ(s,u),那么松弛(u,v)之后有v.d=δ(s,v)

来源：CSDN

作者：晴雪儿

链接：https://blog.csdn.net/qq_42146775/article/details/103549417