有向图

数据结构和算法系列17 图 阅读目录 一，图的定义 二，图相关的概念和术语 三，图的创建和遍历 四，最小生成树和最短路径 五，算法实现 这一篇我们要总结的是图(Graph)，图可能比我们之前学习的线性结构和树形结构都要复杂，不过没有关系，我们一点一点地来总结，那么关于图我想从以下几点进行总结： 1，图的定义？ 2，图相关的概念和术语？ 3，图的创建和遍历？ 4，最小生成树和最短路径？ 5，算法实现？ 回到顶部 一，图的定义 什么是图呢？ 图是一种复杂的非线性结构。 在线性结构中，数据元素之间满足唯一的线性关系，每个数据元素(除第一个和最后一个外)只有一个直接前趋和一个直接后继； 在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每个数据元素只与上一层中的一个元素(双亲节点)及下一层的多个元素(孩子节点)相关； 而在图形结构中，节点之间的关系是任意的，图中任意两个数据元素之间都有可能相关。 图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E) 回到顶部 二，图相关的概念和术语 1，无向图和有向图 对于一个图，若每条边都是没有方向的，则称该图为无向图。图示如下： 因此，(V i ，V j )和(V j， V i )表示的是同一条边。注意， 无向图是用小括号，而下面介绍的有向图是用尖括号。 无向图的顶点集和边集分别表示为： V(G)={V 1 ，V 2 ，V

一，图的定义 什么是图呢？ 图是一种复杂的非线性结构。 在线性结构中，数据元素之间满足唯一的线性关系，每个数据元素(除第一个和最后一个外)只有一个直接前趋和一个直接后继； 在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每个数据元素只与上一层中的一个元素(双亲节点)及下一层的多个元素(孩子节点)相关； 而在图形结构中，节点之间的关系是任意的，图中任意两个数据元素之间都有可能相关。 图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E) 回到顶部 二，图相关的概念和术语 1，无向图和有向图 对于一个图，若每条边都是没有方向的，则称该图为无向图。图示如下： 因此，(V i ，V j )和(V j， V i )表示的是同一条边。注意， 无向图是用小括号，而下面介绍的有向图是用尖括号。 无向图的顶点集和边集分别表示为： V(G)={V 1 ，V 2 ，V 3 ，V 4 ，V 5 } E(G)={(V 1 ，V 2 )，(V 1 ，V 4 )，(V 2 ，V 3 )，(V 2 ，V 5 )，(V 3 ，V 4 )，(V 3 ，V 5 )，(V 4 ，V 5 )} 对于一个图G，若每条边都是有方向的，则称该图为有向图。图示如下。 因此，<V i ，V j >和<V j， V i >是两条不同的有向边。注意，有向边又称为弧。 有向图的顶点集和边集分别表示为： V(G)

原文地址 http://www.cnblogs.com/mcgrady/archive/2013/09/23/3335847.html#_label2 阅读目录 一，图的定义 二，图相关的概念和术语 三，图的创建和遍历 四，最小生成树和最短路径 五，算法实现 这一篇我们要总结的是图(Graph)，图可能比我们之前学习的线性结构和树形结构都要复杂，不过没有关系，我们一点一点地来总结，那么关于图我想从以下几点进行总结： 1，图的定义？ 2，图相关的概念和术语？ 3，图的创建和遍历？ 4，最小生成树和最短路径？ 5，算法实现？ 一，图的定义 什么是图呢？ 图是一种复杂的非线性结构。 在线性结构中，数据元素之间满足唯一的线性关系，每个数据元素(除第一个和最后一个外)只有一个直接前趋和一个直接后继； 在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每个数据元素只与上一层中的一个元素(双亲节点)及下一层的多个元素(孩子节点)相关； 而在图形结构中，节点之间的关系是任意的，图中任意两个数据元素之间都有可能相关。 图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E) 二，图相关的概念和术语 1，无向图和有向图 对于一个图，若每条边都是没有方向的，则称该图为无向图。图示如下： 因此，(V i ，V j )和(V j， V i )表示的是同一条边。注意， 无向图是用小括号

一、图的概念 图的定义 1、图 在树形结构中，结点间具有层次关系，每一层结点只能和上一层中的至多一个结点相关， 但可能和下一层的多个结点相关。而在图结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之 间的邻接关系可以是任意的 图G: 是由集合V和E组成，记成G=(V,E)； V 是顶点集(非空)；E 是边集 （可空）;边是顶点的有序对或无序对;（边反映了两顶点之间的关系） 2、有向图 ： 边是顶点的有序对的图（图中每条边都用箭头指明了方向）一个具有 n 个顶点的 有向完全图的弧 数为 n(n-1) 3、无向图 ： 边是顶点的无序对的图。一个具有 n 个顶点的 无向完全图的边 数为 n(n-1)/2 。 4、权、带权图： 图的边附带数值，这个数值叫权。权在实际应用中可表示从一个顶点到另一个顶点的 距离、代价或耗费等。每条边都带权的图称为带权图。 5、顶点的度、入度、出度 无向图中 顶点 v 的度是与该顶点相关联的边的数目，记为 D(v)。 如果 G 是一个有向图 ，则把以顶点 v 为终点的弧的数目称为 v 的入度，记为 ID(v)； 把以顶点 v 为始点的弧的数目称为 v 的出度，记为 OD(v)。 有向图中顶点 v 的度等于入度与出度的和，即 D(v)=ID(v)+OD(v)。 6、子图： 设 G=(V，E)是一个图，若 E'是 E 的子集，V'是 V 的子集，并且 E'中的边仅与 V

一、Web 问：从全球范围来看，网络是什么样子？ 网络可以表示成一个有向图， Node：网页（Web Page） Edge ：超链接（hyperlink） 给定节点 v v v ，它能够到达哪些节点？又有哪些节点能够到达 v v v ？ I n ( v ) = { w ∣ w 能 够 到 达 v } In(v)=\{ w|w 能够到达 v\} I n ( v ) = { w ∣ w 能 够 到 达 v } O u t ( v ) = { w ∣ v 能 够 到 达 w } Out(v)=\{ w|v 能够到达 w\} O u t ( v ) = { w ∣ v 能 够 到 达 w } 两种类型的有向图： 强连接的(strong connected)：任何一个顶点都能够沿着一条有向路径到达另一个节点。 有向非循环图（directed acyclic graph）：节点 u 能到达节点 v ，但是节点 v 却不能到达节点 u； 二、知识回顾 1. 连通图与强连通图： 在无向图G中 ，若任意两个不同的顶点 v i v_i v i ​ 和 v j v_j v j ​ 都连通(即有路径)，则称G为连通图(Connected Graph). 在有向图G中 ，如果两个顶点 v i v_i v i ​ 和 v j v_j v j ​ 间有一条从 v i v_i v i ​ 到 v j v_j v

检测有向图内所有周期的最有效算法是什么？ 我有一个有向图，表示需要执行的作业计划，其中作业是节点，而依赖项是边缘。 我需要检测此图中导致循环依赖性的循环的错误情况。 #1楼 我已经在sml（命令式编程）中实现了这个问题。 这是大纲。 查找入度或出度为0的所有节点。 这样的节点不能成为循环的一部分（因此请删除它们）。 接下来，从此类节点中删除所有传入或传出边缘。 将这个过程递归地应用于结果图。 如果最后没有剩下任何节点或边，则该图没有任何循环，否则就没有。 #2楼 https://mathoverflow.net/questions/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length 我最喜欢这种解决方案，特别适合4种长度：） 此外，phys向导还说您必须执行O（V ^ 2）。 我相信我们只需要O（V）/ O（V + E）。 如果该图已连接，则DFS将访问所有节点。 如果该图具有连接的子图，则每次我们在该子图的顶点上运行DFS时，我们都将找到连接的顶点，并且在下次运行DFS时不必考虑这些顶点。 因此，为每个顶点运行的可能性是不正确的。 #3楼 没有一种算法可以在多项式时间内找到有向图中的所有循环。 假设有向图有n个节点，并且每对节点之间都有相互连接，这意味着您有一个完整的图。 因此，这n个节点的任何非空子集都表示一个周期，并且此类子集的数量为2 ^ n-1。

[有向图强连通分量] 在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点 强连通 (strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个 强连通图 。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为 强连通分量 (strongly connected components)。 下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。 直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法] Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。 定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出， Low(u)=Min { DFN(u), Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点 DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边) } 当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

本文主要以一个带权有向图为例，讲解图相关的一些算法实现（Go语言），包括图的顶点和边的插入与删除操作，还有图的深度优先遍历和广度优先遍历，以及图的一些引申应用：最小生成树、从源点到其余各点的最短路径、拓扑排序。 一、图的概念 图是由顶点集合及顶点间的关系（边）集合组成的一种数据结构。 关于图的更多基本术语的概念可以参考： https://www.jianshu.com/p/d9ca383e2bd8 二、图的存储表示 图的存储表示形式有两种：邻接矩阵、邻接表，下面分别是这两种存储表示形式的示例。 一个无向图的邻接矩阵表示示例如下： 一个无向图的邻接表表示示例如下： 本文主要以一个带权有向图为例，使用邻接表进行存储表示，代码实现如下： /** * 带权有向图顶点数组节点结构 **/ type VertexArrayNode struct { data byte //顶点数据 link *EdgeListNode //出边链表 } /** * 带权有向图出边链表节点结构 **/ type EdgeListNode struct { vertexArrayIndex int //顶点数组索引 weight int //权重值 next *EdgeListNode //下一个指向节点 } /** * 带权有向图结构 **/ type ListGraph struct { slice []

@author QYX 写作时间:2013/0302 最近准备noi比赛，加油!!! 因为近期学习任务太多太紧，所以我主要维护Github，博客园可能会停更几天。----2020年2月9日 图 图（graph）是用线连接在一起的顶点或节点的集合，即两个要素：边和顶点。每一条边连接个两个顶点，用（i，j）表示顶点为 i 和 j 的边。 ​ 如果用图示来表示一个图，一般用圆圈表示顶点，线段表示边。有方向的边称为有向边，对应的图成为有向图，没有方向的边称为无向边，对应的图叫无向图。对于无向图，边（i， j）和（j，i）是一样的，称顶点 i 和 j 是邻接的，边（i，j）关联于顶点 i 和 j ；对于有向图，边（i，j）表示由顶点 i 指向顶点 j 的边，即称顶点 i 邻接至顶点 j ，顶点 i 邻接于顶点 j ，边（i，j）关联至顶点 j 而关联于顶点 i 。 ​ 对于很多的实际问题，不同顶点之间的边的权值（长度、重量、成本、价值等实际意义）是不一样的，所以这样的图被称为加权图，反之边没有权值的图称为无权图。所以，图分为四种：加权有向图，加权无向图，无权有向图，无权无向图。 图的表现有很多种，邻接表法，临接矩阵等。 图经常是以这种形式出现的[weight,from,to]的n*3维数组出现的,见名知意，三个元素分别为边的权重，从哪儿来，到哪儿去。 如上图所示，由一条边连接在一起的顶点称为

#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int N=1e5+10; int h[N],e[N],ne[N],idx; int q[N],d[N]; int n,m; void add(int a,int b) { e[idx]=b; ne[idx]=h[a]; h[a]=idx; idx++; } bool topsort() { int hh=0,tt=-1; for(int i=1;i<=n;i++) { if(d[i]==0) q[++tt]=i; } while(hh<=tt) { int t=q[hh++];//找到入度为0的点 for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]) { int j=e[i]; d[j]--;//j入度-1 if(d[j]==0) q[++tt]=j;//入度为0时，入队 } } return tt==n-1; } int main() { cin>>n>>m; memset(h,-1,sizeof h); for(int i=1;i<=m;i++) { int a,b; cin>>a>>b; add(a,b);//添加点 d[b]++;//b的入度+1 } if(topsort()) { for(int i