可能用到的知识Julia数值代数 Julia插值算法
导数的定义为
f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} f ′ ( a ) = h → 0 lim h f ( a + h ) − f ( a )
则对于某精度条件下，选择适当的h h h
f ′ ( a ) ≈ f ( a + h ) − f ( a ) h ≈ f ( a ) − f ( a − h ) h ≈ f ( a + h ) − f ( a − h ) 2 h \begin{aligned}
f'(a)\approx&\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
\approx&\frac{f(a)-f(a-h)}{h}\\
\approx&\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\\
\end{aligned}
f ′ ( a ) ≈ ≈ ≈ h f ( a + h ) − f ( a ) h f ( a ) − f ( a − h ) 2 h f ( a + h ) − f ( a − h )
如果我们得到的是一组一一对应的x , y x,y x , y
L n ( x ) = ∑ k = 0 n y k ω n + 1 ( x ) ( x − x k ) ω n + 1 ′ ( x k )
L_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^ny_k\frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_k)\omega'_{n+1}(x_k)}
L n ( x ) = k = 0 ∑ n y k ( x − x k ) ω n + 1 ′ ( x k ) ω n + 1 ( x )
其中，
ω n + 1 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) … ( x − x n )
\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_n) ω n + 1 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) … ( x − x n )
其两点形式为
L 2 ( x ) = y 1 x − x 2 x 1 − x 2 + y 2 x − x 1 x 2 − x 1
L_2(x)=y_1\frac{x-x_2}{x_1-x_2}+y_2\frac{x-x_1}{x_2-x_1}
L 2 ( x ) = y 1 x 1 − x 2 x − x 2 + y 2 x 2 − x 1 x − x 1
由此可得两点插值的导数为
L 2 ′ ( x ) = y 1 x 1 − x 2 + y 2 x 2 − x 1 = y 2 − y 1 h
L_2'(x)=\frac{y_1}{x_1-x_2}+\frac{y_2}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{h}
L 2 ′ ( x ) = x 1 − x 2 y 1 + x 2 − x 1 y 2 = h y 2 − y 1
显然这是个常量，相当于根本没插值，直接用的前向或者后向差分。
Lagrange插值的三点表达式为
L 3 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) f ( x 1 ) + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) f ( x 2 )
L_3(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}f(x_2)
L 3 ( x ) = ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) f ( x 0 ) + ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) f ( x 1 ) + ( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) f ( x 2 )
其导数为
L 3 ′ ( x ) = 2 x − x 1 − x 2 ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) f ( x 0 ) + 2 x − x 0 − x 2 ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) f ( x 1 ) + 2 x − x 0 − x 1 ( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) f ( x 2 )
L_3'(x)=\frac{2x-x_1-x_2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)+\frac{2x-x_0-x_2}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)+\frac{2x-x_0-x_1}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}f(x_2)
L 3 ′ ( x ) = ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) 2 x − x 1 − x 2 f ( x 0 ) + ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) 2 x − x 0 − x 2 f ( x 1 ) + ( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) 2 x − x 0 − x 1 f ( x 2 )
由此可得x 0 , x 1 , x 2 x_0,x_1,x_2 x 0 , x 1 , x 2
{ L 3 ′ ( x 0 ) = 1 2 h [ − 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] L 3 ′ ( x 0 ) = 1 2 h [ − f ( x 0 ) + f ( x 2 ) ] L 3 ′ ( x 0 ) = 1 2 h [ − f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) ] \left\{\begin{aligned}
L_3'(x_0)=&\frac{1}{2h}[-3f(x_0)+4f(x_1)-f(x_2)]\\
L_3'(x_0)=&\frac{1}{2h}[-f(x_0)+f(x_2)]\\
L_3'(x_0)=&\frac{1}{2h}[-f(x_0)+4f(x_1)+3f(x_2)]\\
\end{aligned}\right.
⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ L 3 ′ ( x 0 ) = L 3 ′ ( x 0 ) = L 3 ′ ( x 0 ) = 2 h 1 [ − 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] 2 h 1 [ − f ( x 0 ) + f ( x 2 ) ] 2 h 1 [ − f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) ]
此即三点插值下的数值求导公式，通过同样的构造方式可以获取更多点数插值下的求导公式，在此便不再详述了。
定积分的定义式具有十分鲜明的数值特征
∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( a + k n ( b − a ) ) b − a n
\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{k}{n}(b-a))\frac{b-a}{n}
∫ a b f ( x ) d x = n → ∞ lim k = 1 ∑ n f ( a + n k ( b − a ) ) n b − a
当n ↛ ∞ n\not\to\infty n → ∞ h = b − a n h=\frac{b-a}{n} h = n b − a
∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ k = 1 n f ( a + k h ) h
\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x\approx\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(a+kh)h
∫ a b f ( x ) d x ≈ k = 1 ∑ n f ( a + k h ) h
可以十分方便地写成
# 无脑的数值积分算法
function nativeInt ( f, a, b, n)
h = ( b- a) / n
integ = 0
for k = 1 : n
integ += f ( a+ k* h) * h
end
return integ
end
验证
julia> include ( "integration.jl" ) ;
julia> f ( x) = 2 * x^ 2 + 1 #定义被积函数
julia> nativeInt ( f, 0 , 1 , 20 ) #积分区间为[ 0 , 1 ] ，积分值为5 / 3
1.7175000000000002 #当步长为20 的时候，误差很大
julia> nativeInt ( f, 0 , 1 , 100 ) #步长为100 时，误差降到了1 %
1.6766999999999999
可见其精度不怎么样，让牛顿那些人手算100次也的确有些强人所难了，所以牛顿他们就想办法在提高精度的前提下降低运算量。
考虑到定积分定义式的特点，令x k = a + k ( b − a ) n x_k=a+k\frac{(b-a)}{n} x k = a + k n ( b − a ) f ( x k ) f(x_k) f ( x k ) A k A_k A k
∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ k = 1 n A k f ( x k )
\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x\approx\displaystyle\sum_{k=1}^{n}A_kf(x_k)
∫ a b f ( x ) d x ≈ k = 1 ∑ n A k f ( x k )
如果f ( x k ) f(x_k) f ( x k ) A k A_k A k L n ( x ) L_n(x) L n ( x )
I n = ∫ a b L n ( x ) d x
I_n=\int_a^bL_n(x)\text{d}x
I n = ∫ a b L n ( x ) d x
其中，
L n ( x ) = ∑ k = 0 n f ( x k ) l k ( x )
L_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nf(x_k)l_k(x)
L n ( x ) = k = 0 ∑ n f ( x k ) l k ( x )
通过插值积分来构造的插值型积分公式
I n = ( b − a ) ∑ k = 0 n C k ( n ) f ( x k )
I_n=(b-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C^{(n)}_kf(x_k)
I n = ( b − a ) k = 0 ∑ n C k ( n ) f ( x k )
被称为Newton-Cotes公式 \textbf{Newton-Cotes公式} Newton-Cotes 公式 C k ( n ) C^{(n)}_k C k ( n ) Cotes系数 \textbf{Cotes系数} Cotes 系数
将lagrange插值函数代入可得
( b − a ) ∑ k = 0 n C k ( n ) f ( x k ) = ∑ k = 0 n f ( x k ) ∫ a b l k ( x ) d x
(b-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C^{(n)}_kf(x_k)=\displaystyle\sum_{k=0}^nf(x_k)\int_a^bl_k(x)\text{d}x
( b − a ) k = 0 ∑ n C k ( n ) f ( x k ) = k = 0 ∑ n f ( x k ) ∫ a b l k ( x ) d x
即
( b − a ) C k ( n ) = ∫ a b l k ( x ) d x → C k ( n ) = 1 b − a ∫ a b ω n + 1 ( x ) ( x − x k ) ω n + 1 ′ ( x k ) d x → x = a + h z = ∫ 0 n ω n + 1 ( a + h z ) ( a + h z − x k ) ω n + 1 ′ ( x k ) d x \begin{aligned}
&&(b-a)C^{(n)}_k&=\int_a^bl_k(x)\text{d}x\\
\to&&C^{(n)}_k&=\frac{1}{b-a}\int_a^b\frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_k)\omega'_{n+1}(x_k)}\text{d}x\\
&&\xrightarrow{x=a+hz}&=\int_0^n\frac{\omega_{n+1}(a+hz)}{(a+hz-x_k)\omega'_{n+1}(x_k)}\text{d}x\\
\end{aligned}
→ ( b − a ) C k ( n ) C k ( n ) x = a + h z = ∫ a b l k ( x ) d x = b − a 1 ∫ a b ( x − x k ) ω n + 1 ′ ( x k ) ω n + 1 ( x ) d x = ∫ 0 n ( a + h z − x k ) ω n + 1 ′ ( x k ) ω n + 1 ( a + h z ) d x
其中x k x_k x k x k = a + k ( b − a ) n = a + h k x_k=a+k\frac{(b-a)}{n}=a+hk x k = a + k n ( b − a ) = a + h k
{ ω n + 1 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) … ( x − x n ) ω n + 1 ′ ( x k ) = ( x k − x 0 ) … ( x k − x k − 1 ) ( x k − x k + 1 ) … ( x k − x n ) \left\{\begin{aligned}
\omega_{n+1}(x)&=(x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_n)\\
\omega'_{n+1}(x_k)&=(x_k-x_0)\ldots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\ldots(x_k-x_n)
\end{aligned}\right.
{ ω n + 1 ( x ) ω n + 1 ′ ( x k ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) … ( x − x n ) = ( x k − x 0 ) … ( x k − x k − 1 ) ( x k − x k + 1 ) … ( x k − x n )
化简可得
C k ( n ) = ( − 1 ) n − k n k ! ( n − k ) ! ∫ 0 n Ω n + 1 ( z ) z − k d z
C^{(n)}_k=\frac{(-1)^{n-k}}{nk!(n-k)!}\int_0^n\frac{\Omega_{n+1}(z)}{z-k}\text{d}z
C k ( n ) = n k ! ( n − k ) ! ( − 1 ) n − k ∫ 0 n z − k Ω n + 1 ( z ) d z
其中
Ω n + 1 ( z ) = ( z − 0 ) ( z − 1 ) … ( z − n )
\Omega_{n+1}(z)=(z-0)(z-1)\ldots(z-n)
Ω n + 1 ( z ) = ( z − 0 ) ( z − 1 ) … ( z − n )
所以，数值积分被转化成求Cotes系数的问题，若将Cotes系数进行数值求解，那么有三个问题需要解决，一是阶乘，二是Ω \Omega Ω
其中，阶乘几乎是我们在学习编程语言过程中，学习递归的第一个案例，几乎没有人没写过，没有什么太大的花样。
# 阶乘
function factorial ( n)
if n <= 1
return 1
else
return n* factorial ( n- 1 )
end
end
Ω \Omega Ω
# 多项式乘法，形式为an* x^ n，大端小端自定义，输出和输入的格式相同
# 建议a[ 1 ] 为最低位常数项
function polyMulti ( a, b)
na = length ( a) ; nb = length ( b)
c = zeros ( na+ nb- 1 )
for i = 1 : na
c[ i: i+ nb- 1 ] += a[ i] * b
end
return c
end
#将 ( x- x1) ( x- x2) ... ( x- xn) 化成an* x^ n形式, A [ 1 ] 为最低位 ( 常数项)
#输入为[ x1, x2, ... , xn] 输出为[ a1, a2, ... , an]
function polySimplify ( x)
return length ( x) == 1 ? [ - x[ 1 ] , 1 ] : polyMulti (
[ - x[ 1 ] , 1 ] , polySimplify ( x[ 2 : end] ) )
end
多项式积分亦只需变动一位，即
∫ a k x k d x = a k k + 1 x k + 1
\int a_kx^k\text{d}x=\frac{a_k}{k+1}x^{k+1}
∫ a k x k d x = k + 1 a k x k + 1
易写为
#多项式积分，输入为 ( [ a0, a1, ... , an] , aStart, aEnd)
#输出为[ b0, b1, ... , bn+ 1 ]
function polyInf ( a, as , ae)
#因为积分后位数升1 ，所以幂数从1 开始
return sum ( [ ( ae^ i- as ^ i) * a[ i] / i for i in 1 : length ( a) ] )
end
至此，我们就能够得到Cotes系数
# 获取Cotes系数
function getCotes ( n, k= [ ] )
if k == [ ]
return [ getCotes ( n, i) for i in 0 : n]
end
kerr = polySimplify ( [ i for i in 0 : n if i != k] )
cotes = ( - 1 ) ^ ( n- k) / n/ factorial ( k) / factorial ( n- k)
return cotes* polyInf ( kerr, 0 , n)
end
验证
julia> for n = 1 : 5
print ( getCotes ( n) )
print ( '\n' )
end
[ 0.5 , 0.5 ]
[ 0.16666666666666663 , 0.6666666666666667 , 0.16666666666666663 ]
[ 0.125 , 0.375 , 0.375 , 0.125 ]
[ 0.0777777777777775 , 0.3555555555555566 , 0.13333333333333286 , 0.3555555555555543 , 0.07777777777777779 ]
[ 0.06597222222222247 , 0.26041666666666285 , 0.17361111111110858 , 0.17361111111110858 , 0.26041666666666285 , 0.06597222222222172 ]
与Cotes系数表比较，可见结果是对的。
n
1
1 2 1 2 \frac{1}{2}\quad\frac{1}{2} 2 1 2 1 2
1 6 4 6 1 6 \frac{1}{6}\quad\frac{4}{6}\quad\frac{1}{6} 6 1 6 4 6 1 3
1 8 3 8 3 8 1 8 \frac{1}{8}\quad\frac{3}{8}\quad\frac{3}{8}\quad\frac{1}{8} 8 1 8 3 8 3 8 1 4
7 90 16 45 2 15 16 45 7 90 \frac{7}{90}\quad\frac{16}{45}\quad\frac{2}{15}\quad\frac{16}{45}\quad\frac{7}{90} 9 0 7 4 5 1 6 1 5 2 4 5 1 6 9 0 7 5
19 288 25 96 25 144 25 144 25 96 19 288 \frac{19}{288}\quad\frac{25}{96}\quad\frac{25}{144}\quad\frac{25}{144}\quad\frac{25}{96}\quad\frac{19}{288} 2 8 8 1 9 9 6 2 5 1 4 4 2 5 1 4 4 2 5 9 6 2 5 2 8 8 1 9
将Cotes系数代入公式
I n = ( b − a ) ∑ k = 0 n C k ( n ) f ( x k )
I_n=(b-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C^{(n)}_kf(x_k)
I n = ( b − a ) k = 0 ∑ n C k ( n ) f ( x k )
则当n = 1 n=1 n = 1
I 1 = ( b − a ) b − a 2 [ f ( a ) + f ( b ) ] I_1=(b-a)\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] I 1 = ( b − a ) 2 b − a [ f ( a ) + f ( b ) ]
当n = 2 n=2 n = 2 Simpson公式 \textbf{Simpson公式} Simpson 公式
I 2 = ( b − a ) b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] I_2=(b-a)\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)] I 2 = ( b − a ) 6 b − a [ f ( a ) + 4 f ( 2 a + b ) + f ( b ) ]
当n = 4 n=4 n = 4 Cotes公式 \textbf{Cotes公式} Cotes 公式
I 4 = ( b − a ) b − a 90 [ 7 f ( x 0 ) + 32 f ( x 1 ) + 12 f ( x 2 ) + 32 f ( x 3 ) + 7 f ( x 4 ) ] I_4=(b-a)\frac{b-a}{90}
[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4)] I 4 = ( b − a ) 9 0 b − a [ 7 f ( x 0 ) + 3 2 f ( x 1 ) + 1 2 f ( x 2 ) + 3 2 f ( x 3 ) + 7 f ( x 4 ) ]
则对于任意阶的Newton-Cotes公式，可以写为
# Newton- Cotes公式
function NewtonCotes ( f, a, b, n)
cotes = getCotes ( n)
return sum ( [ cotes[ i] * f ( a+ ( b- a) / n* ( i- 1 ) ) for i in 1 : n+ 1 ] )
end
验证
julia> include ( "integration.jl" ) ;
julia> f ( x) = x^ 2 + 2 * x+ 3 ;
julia> NewtonCotes ( f, 0 , 1 , 3 )
4.333333333333333
Lagrange插值法所存在的问题在于，高阶插值可能会导致局部最优，但其他区域误差很大，基于Lagrange插值的Newton-Cotes公式也有类似的特征，当阶数较大时会导致求解结果不稳定。此外，不同阶数的Newton-Cotes公式针对于不同阶数的多项式拟合精度不同，对于指数函数的无穷阶数，当拟合区间较大时，必然存在精度上的灾难。
julia> f ( x) = x^ 2 + 2 * x+ 3 ;
julia> NewtonCotes ( f, 0 , 1 , 30 )
9.752372644513475e25
julia> NewtonCotes ( exp, 0 , 10 , 5 ) - ( exp ( 10 ) - 1 )
- 19714.53098399712
解决Lagrange插值中Runge现象的方法是样条插值，其基本思想是对定义域进行分段，在每个小段进行低阶拟合，其总拟合效果要优于对所有区域的高阶拟合。同理，对于Newton-Cotes公式也可以对积分区域进行细分，从而用更低阶的Cotes系数在更狭小的区域中进行求积，这种方法叫做复化求积法。
二阶复化求积法，即复化梯形公式为
T n = ∑ k = 0 n − 1 h 2 [ f ( x k ) + f ( x k + 1 ) ] = h 2 [ f ( a ) + 2 ∑ k = 1 n − 1 f ( x k ) + f ( b ) ]
T_n=\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}\frac{h}{2}[f(x_k)+f(x_{k+1})]=\frac{h}{2}[f(a)+2\displaystyle\sum^{n-1}_{k=1}f(x_k)+f(b)] T n = k = 0 ∑ n − 1 2 h [ f ( x k ) + f ( x k + 1 ) ] = 2 h [ f ( a ) + 2 k = 1 ∑ n − 1 f ( x k ) + f ( b ) ]
记子区间[ x k , x k + 1 ] [x_k,x_{k+1}] [ x k , x k + 1 ] x k + 1 2 x_{k+\frac{1}{2}} x k + 2 1
S n = ∑ k = 0 n − 1 h 6 [ f ( x k ) + 4 f ( x k + 1 2 ) + f ( x k + 1 ) ] = h 6 [ f ( a ) + 4 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k + 1 2 ) + 2 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k ) + f ( b ) ] \begin{aligned}
S_n&=\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}\frac{h}{6}[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]\\
&=\frac{h}{6}[f(a)+4\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}f(x_{k+\frac{1}{2}})+2\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}f(x_k)+f(b)]
\end{aligned}
S n = k = 0 ∑ n − 1 6 h [ f ( x k ) + 4 f ( x k + 2 1 ) + f ( x k + 1 ) ] = 6 h [ f ( a ) + 4 k = 0 ∑ n − 1 f ( x k + 2 1 ) + 2 k = 0 ∑ n − 1 f ( x k ) + f ( b ) ]
更高阶的Newton-Cotes公式亦然。
复化公式的好处是通过缩减区间长度，可以提高数据精度，因为对于连续函数来说，越短的区间意味着这个区间内的映射关系更趋近于线性。问题在于更细的区段划分意味着更大的运算量，所以实际应用的过程中往往求一步看一步，当不满足精度要求的时候尽量缩短步长，在满足精度之后则进行输出。
对于复化梯形公式来说，对于任意一段积分区间[ x k , x k + 1 ] [x_k,x_{k+1}] [ x k , x k + 1 ]
h 4 [ f ( x k ) + 2 f ( x k + 1 2 ) + f ( x k + 1 ) ]
\frac{h}{4}[f(x_k)+2f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]
4 h [ f ( x k ) + 2 f ( x k + 2 1 ) + f ( x k + 1 ) ]
则整个区间的求和公式变为
T 2 n = h 4 ∑ k = 0 n − 1 [ f ( x k ) + f ( x k + 1 ) ] + h 2 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k + 1 2 ) = 1 2 T n + h 2 ∑ k = 0 n − 1 f ( x k + 1 2 ) \begin{aligned}
T_{2n}&=\frac{h}{4}\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}[f(x_k)+f(x_{k+1})]+\frac{h}{2}\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}f(x_{k+\frac{1}{2}})\\
&=\frac{1}{2}Tn+\frac{h}{2}\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}f(x_{k+\frac{1}{2}})
\end{aligned}
T 2 n = 4 h k = 0 ∑ n − 1 [ f ( x k ) + f ( x k + 1 ) ] + 2 h k = 0 ∑ n − 1 f ( x k + 2 1 ) = 2 1 T n + 2 h k = 0 ∑ n − 1 f ( x k + 2 1 )
其Julia实现为
# 复化梯形公式, f为函数，a, b为积分区间，err为要求精度
function Trapz ( f, a, b, err= 0.01 , nMax= 10 )
n = 2
nMax = 2 ^ nMax
h = ( b- a) / 2
T = h/ 2 * ( f ( a) + f ( b) + 2 * f ( a+ h) )
myErr = err + 1 #初始误差大于目标误差
while myErr > err && n < nMax
newX = [ 2 * i- 1 for i in 1 : n] #新的x序列
n = n* 2 ; h = h/ 2 #更新n，h值
new = sum ( f. ( a. + h* newX) ) * h
myErr = abs ( T / 2 - new )
T = T / 2 + new #新的梯形值
end
return T , myErr
end
测试一下指数函数，结果表明当划分区间为2 1 0 2^10 2 1 0
julia> include ( "integration.jl" ) ;
julia> Trapz ( exp, 0 , 10 )
( 22025.640837203784 , 0.5251238525834196 )
julia> exp ( 10 ) - 1
22025.465794806718
梯形复化求积虽然缩减了求积区间，从而极大提高了求积精度，但同时牺牲Newton-Cotes公式中的高阶项。最直观的方法当然是对Simpson公式或者Cotes公式进行复化求积，但从算法复用的角度考虑，如果能够基于梯形复化求积法构造出高阶Newton-Cotes公式，那将是即为便利的。
对比Simpson公式和梯形求积公式
T = ( b − a ) b − a 2 [ f ( a ) + f ( b ) ] → T 2 = ( b − a ) b − a 4 [ f ( a ) + f ( b ) + 2 f ( a + b 2 ) ] S = ( b − a ) b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] \begin{aligned}
T=&(b-a)\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\\
\to T_2=&(b-a)\frac{b-a}{4}[f(a)+f(b)+2f(\frac{a+b}{2})]\\
S=&(b-a)\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]\\
\end{aligned}
T = → T 2 = S = ( b − a ) 2 b − a [ f ( a ) + f ( b ) ] ( b − a ) 4 b − a [ f ( a ) + f ( b ) + 2 f ( 2 a + b ) ] ( b − a ) 6 b − a [ f ( a ) + 4 f ( 2 a + b ) + f ( b ) ]
解得
S n = 4 T 2 − T 3 → S n = 4 T 2 n − T n 3
S_n = \frac{4T_2-T}{3}\to S_n=\frac{4T_{2n}-T_n}{3}
S n = 3 4 T 2 − T → S n = 3 4 T 2 n − T n
同理可得复化Cotes公式和Romberg公式 \textbf{Romberg公式} Romberg 公式
C n = 16 T 2 n − T n 15 R n = 64 C 2 n − 1 n 63 \begin{aligned}
C_n =&\frac{16T_{2n}-T_n}{15}\\
R_n =&\frac{64C_{2n}-1_n}{63}\\
\end{aligned}
C n = R n = 1 5 1 6 T 2 n − T n 6 3 6 4 C 2 n − 1 n
所以，我们可以直接对梯形复化公式进行修改
# 复化梯形公式, f为函数，a, b为积分区间，err为要求精度
# flag为1 ，2 ，3 ，4 分别表示梯形、Simpson、Cotes、Romberg算法
function Trapz ( f, a, b, flag= 1 , err= 0.01 , nMax= 10 )
flag = min ( flag, nMax) #
nMax = 2 ^ nMax
n = 1 ; h = b- a #初始化n, h
T = h/ 2 * ( f ( a) + f ( b) )
Tn = zeros ( flag) #存储梯形公式的值
Tn[ end] = T
myErr = err + 1 #初始误差大于目标误差
while myErr > err && n < nMax
newX = [ 2 * i- 1 for i in 1 : n] #新的x序列
n = n* 2 ; h = h/ 2 #更新n，h值
new = sum ( f. ( a. + h* newX) ) * h
myErr = abs ( T / 2 - new )
T = T / 2 + new #新的梯形值
if flag > 1
Tn[ 1 : end- 1 ] = Tn[ 2 : end]
end
Tn[ end] = T #更新梯形公式
end
if flag > 1
Sn = ( 4 * Tn[ 2 : end] - Tn[ 1 : end- 1 ] ) / 3
Tn = [ Tn[ end] , Sn[ end] ]
end
if flag > 2
Cn = ( 16 * Sn[ 2 : end] - Sn[ 1 : end- 1 ] ) / 15 #Cotes公式
Tn = vcat ( Tn, Cn[ end] )
end
if flag > 3
Rn = ( 64 * Cn[ 2 : end] - Cn[ 1 : end- 1 ] ) / 63 #Romberg公式
Tn = vcat ( Tn, Rn[ end] )
end
return Tn, myErr
end
验证
julia> include ( "integration.jl" ) ;
julia> Trapz ( exp, 0 , 10 , 4 ) [ 1 ]
4 - element Array{ Float64, 1 } :
22025.640837203784
22025.46579591959
22025.465794806754
22025.46579480671
julia> exp ( 10 ) - 1
22025.465794806718
可见在相同积分步长的前提下，Romberg公式的精度优于Cotes优于Simpson优于梯形公式。
