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为了彻底理解深度学习，我们到底需要掌握哪些数学知识呢？经常看到会列出一系列数学科目：微积分、线性代数、概率论、复变函数、数值计算等等。这些数学知识有相关性，但实际上这是一个最大化的知识范围，学习成本会非常久，本文尝试归纳理解深度学习所需要的最小化数学知识和推导过程。
（以下根据作者的学习理解整理，有误之处，欢迎专家学者提出指导批评）。
多层神经网络的函数构成关系
多层神经网络从输入层，跨多个隐含层，到最后输出层计算误差，从数学上可以看做一系列函数的嵌套组合而成，上一层函数输出做为下一层函数输入，如下图 1 所示。
图 1
先从误差函数说起，深度学习的误差函数有典型的差平方函数，也有交叉熵函数，本文以差平方函数为例：
T j 代表每个神经元目标值，O j 代表每个神经元输出值
这里 O j =f(Z j )，f 是激活函数，一般是 s 函数：
或者 relu 函数：
Z j 是线性函数（W ij 泛指 i 层和 j 层节点连接权重，b j 泛指 j 层节点截距）：
O i 再往前依次类推，整个神经网络都可以由上面的函数嵌套去表达。
现在我们的问题是，如何通过多次调整上面的 W ij 和 b j ，能让误差函数 E 达到最小值？
换言之，上面这个变量 w 和变量 b 应该怎么取值才能达到效果呢？为了回答这个问题，我们先看看误差函数的几何意义。
误差函数的几何意义及梯度下降
为了方便看懂，我们从二维和三维去理解误差函数，如果输出值 O j 只有一项，并设定 T j =1，那么 O j 和误差函数 E 刚好构成 X,Y 的坐标关系如图 2 所示：
图 2
也就是O j 只有一项的时候，误差函数E刚好就是一个简单的抛物线，可以看到它的底部在 O=1 的时候，这时 E=0 最小值。
那么，当 O 不等于 1 的时候，我们需要一种方法调整 O，让 O 像一个小球一样，把抛物线看做碗，它沿着碗切面向下滚动，越过底部由于重力作用又返回，直到在底部的位置停止不动。什么方法能达到这样神奇的效果呢，就是数学家发明的导数，如果 O 每次减去一个导数的步长，在离底部远的地方，导数对应的正切值就大，下降就快，离底部近的地方，导数正切值就小，下降就慢，在底部 O=1 这个点导数为 0，不再下降，并且越过底部后，导数的正切值变负数，于是又调整了它的方向，刚好达到重力一样的效果。我们把这种方法取个难懂的名字，叫做梯度下降。
再看看三维的几何意义，假设输出值为O 1 ，O 2 两项，并设定T 1 =1，T 2 =1那么O 1 ，O 2 和误差函数E刚好构成X，Y，Z的坐标关系如图 3 所示：
E=1/2(1-O 1 ) 2 +1/2(1-O 2 ) 2
图 3
任意给定一个 X，Y 值，通过函数 E 计算得到一个Z值，形成一个三维曲面，最小值在谷底。我们继续使用上面的梯度下降方法，会产生一个问题，现在的变量是 O 1 ，O 2 两项，到底使用哪个求导数呢？根据上面的几何图形可以看到，如果 O 1 ，O 2 轴同时往谷底方向下降，那么 E 能达到最小值，可以试想 O 2 等于一个常数，就相当于一个 O 1 和 E 构成的二维截面，采用上面的方法减去 O 1 导数的步长就能得到 O 1 的变化量，同样将 O 1 等于一个常数，能得到 O 2 和 E 构成的二维截面，并求得 O 2 的变化量。这种将其他变量视为常数，而只对当前变量求导的方法叫求偏导。
从上面得知对二元函数 z=f(x,y)的梯度下降求法，是对每个 X,Y 求偏导，那么对于多元函数呢，也是一样的求法，只是多维世界的几何图形就很难表达了，因为我们生活在三维世界，很难想像出克莱因瓶这样的四维世界，瓶底通过第四维空间穿过瓶身去和瓶口相连，人类的眼睛也只能看到三维世界，世界上的三维物体能否通过第四维通道传送到另外一个位置上去呢，看上去像这个物体消失了，在其他地方又突然出现了，跑题了，言归正传。
由于导数的特点是到一个谷底就为 0 了，也就是不变化了，所以梯度下降求法有可能只到一个山窝里，没有到达最深的谷底，有局部最小值的缺陷，所以我们要不停调整初始参数，和进行多次的训练摸索，争取能碰到一个到达谷底的最好效果。
现在还有个问题，这里是以 O 为变量来解释梯度下降求法，但是其实我们要求的是 W ij 和 b j 的调整值，根据上面的结论，我们可以通过误差函数 E 对 W ij 和 b j 求偏导得到，步长为自己设置的一个常数，如下：
那么如何求呢，通过前面的第一部分的神经网络函数构成关系，W ij 和b j 到误差函数E是一个多层嵌套的函数关系，这里需要用到复合函数的求偏导方法，截至这里，我们理解了数学原理，再结合下面所用到的数学公式，就构成了推导所需要的最小化数学知识。
推导需要的数学公式
1、复合函数求偏导公式
2、导数四则运算公式
3、导数公式
我们只要记住上面 3 组公式，就可以支持下面完整的推导了。
数学推导过程
先将多层神经网络转成一个数学问题定义，如 图 4 所示：
图 4
1、对于输出层的权重 W ij 和截距 b j ，通过误差函数 E 对 W ij 求偏导，由于函数 E 不能直接由 W ij 表达，我们根据第 1 组的复合函数求偏导公式，可以表达成 O j 和 Z j 对 W ij 求偏导的方式：
由于 Z j 是线性函数我们是知道的
并且 O j 是可以直接用 Z j 表达的：
所以 E 对 W ij 求偏导可以写成 f(Z j )的导数表达，同样对 b j 求偏导也可以用 f(Z j )的导数表达（记做推导公式一）
由于误差函数 E 是可以直接用 O j 表达的，我们继续推导如下，根据第2组和第3组导数四则运算公式和导数公式：
最后得到一个只用 f(Z j )的导数表达的通用公式，其中 O j 是输出层的输出项，O i 是上一层的输出项：
从前面得知，O j =f(Z j )，f 是激活函数，一般是 s 函数或者 relu 函数，我们继续推导如下：
（1）如果激活函数是s函数，根据它的导数公式：
可以得到结论一（1），权重 W ij 和截距 b j 的更新公式为：
（2）如果激活函数是relu函数，根据它的导数公式：
可以得到结论一（2），权重 W ij 和截距 b j ，的更新公式为：
2、除了对输出层的权重 W ij 和截距 b j 外，更普遍的隐含层权重 W ki 和截距 b i 更新应该如何去求呢？
我们仍然用误差函数 E 对 W ki 和 b i 求偏导，借助前面的推导公式一，可以得到
对于输出层来说，误差函数E可以直接用 O j 表达，但是对于隐含层，误差函数E并不能直接用 O i 表达，根据多层神经网络的函数构成关系，我知道 O j 可以通过 O i 向前传递进行一系列函数组合得到的。
由于深度学习不一定是全连接，我们假设 O i 只和输出层j的 s 个节点相连接，下标记为 j0 到 js，如上面图四所示，对于 O i 来说，只跟和它节点相连接的 O j 构成函数关系，跟不相连接的 O j 没有函数关系，所以我们根据复合函数求偏导可以把不相连接的 O j 视为常数。
并且，根据函数构成关系，O i 可直接构成 Z js ，Z js 可直接构成 O j ，根据复合函数求偏导公式的链式写法推导如下：
同时，对上式的 Z js 来说，误差函数 E 对它求偏导，其余项可以视为常数：
所以，在上式的结果继续推导如下，可以完全用 E 对 Z js 的偏导数来表达：
现在我们将误差函数 E 对 Z js 的偏导数记做输出层相连节点的误差项，根据前面的推导公式一，在计算 W ij 更新值可以得到：
所以，隐含层的权重和截距更新，可以由输出层的误差项得到，同理也适用于其他隐含层，都可以由它的后一层（nextlayer）的误差项得到， 下面是结论二，隐含层权重 W ki 和截距 b i 的更新公式为：
总结
通过掌握以上数学原理和推导，我们就理解了深度学习为什么要这样计算，接下来利用推导的结论一和结论二，可以完成深度学习的算法程序实现了，剩下的只是架构和工程化的问题。对卷积类的深度学习模型，为了降低训练复杂性，它的权重很多是相同的（权重共享），并且只和下一层部分神经元节点连接（局部连接），数学原理、计算方法、训练方式和上面是一样的，最终的模型结果都是得到一组参数，用该组参数保证误差函数最接近最小值。
来源：CSDN
作者：乐投网
链接：https://blog.csdn.net/qq_36852006/article/details/76344889