隐马尔科夫模型一(概念理解)

前言

由于前一段时间在看CTC论文，里面用到了HMM中的前向后向算法，推公式的时候·一脸懵逼，所以又来学习HMM的思想，所以写篇博客做个笔记。本部分博客分为两篇，第一篇主要介绍一些基本的概念和思想，第二篇介绍理论的推导。博客的内容主要是基于<<统计学习方法>>以及其他的一些博客

模型概念

隐马尔可夫模型：隐马尔科夫模型是关于时序的概念模型，描述了由一个隐藏的马尔科夫链随机产生不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测而产生的观测随机序列的过程。隐藏的马尔科夫链随机生成的状态序列成为状态序列：每个状态生成一个观测，而由此产生的观测的随机序列，称为观测序列。序列的每一个位置又可以看作一个时刻。

当第一次看到上述描述时估计大都数人都会和我一样一脸蒙逼，什么是状态序列，什么又是观测序列？还有隐马尔可夫链又是神马？

举个例子，假设你有一个住得很远的朋友,他每天跟你打电话告诉你他那天做了什么.你的朋友仅仅对三种活动感兴趣:公园散步,购物以及清理房间.他选择做什么事情只凭天气.你对于他所住的地方的天气情况并不了解,但是你知道总的趋势.在他告诉你每天所做的事情基础上,你想要猜测他所在地的天气情况。其实这个就是一个隐马尔科夫模型。每一天天气的变化就是一个隐马尔科夫链(即不同状态之间的转换)，其有两个状态 “雨"和"晴”,但是你无法直接观察它们,也就是说,它们对于你是隐藏的.每天,你的朋友有一定的概率进行下列活动:“散步”, “购物”, 或 “清理”. 因为你朋友告诉你他的活动,所以这些活动就是你的观察数据。这整个系统就是一个隐马尔可夫模型HMM。

对于上述的例子而言，如果连续持续多天，你的朋友可能根据不同的天气进行不同的活动(当然，这里有一个前提，你的朋友在同一天只能进行一种活动)，这几天天气的变化的就是一个隐藏的状态序列，比如说连续五天的天气为[‘晴’,‘雨’,‘雨’,‘晴’,‘雨’](这是在你不看天气预报的前提下o(╯□╰)o),而你的朋友每一天做的活动就组成了观测序列。这样看起来是不是简单多了。如果对这个例子还是不太理解，推荐看看参考资料[2]。

有了上面的例子，下面可以对隐马尔可夫模型进行符号化的定义。

定义

隐马尔科夫模型有初始概率分布、状态转移概率分布以及观测概率分布确定，其形式化定义如下:

设 $Q$ 是所有可能状态集合， $V$ 是所有可能的观测的集合
$Q=\{q_1,q_2,...q_N\},\quad V=\{v_1,v_2..v_M\}$
其中 $N$ 是可能的状态数， $M$ 是可能的观测数。

$I$ 是长度为 $T$ 的状态序列， $O$ 是对应的观测序列。
$I=(i_1,i_2...i_T),\quad O=(o_1,o_2,...,o_T)$
A是状态转移矩阵：
$A=[a_{ij}]_{N\times N}$
其中

$a_{ij}=P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i),\quad i=1,2,...,N;j=1,2,...,N$
表示的是 $t$ 时刻处于 $q_i$ 的条件下在 $t+1$ 时刻状态转移到 $q_j$ 的概率。

B是观测概率矩阵：

$B=[b_j(k)]_{N\times N}$
其中

$b_j(k)=P(o_t=v_k|i_t=q_j),\quad k=1,2,...,M; j=1,2,...,N$

是在时刻t处于状态 $q_j$ 的条件下生成观测 $v_k$ 的概率

$\pi$ 是初始状态概率向量:

$\pi=(\pi _i)$
其中:

$\pi_i=P(i_1=q_i),\quad i=1,2,...,N$

所以隐马尔科夫模型 $\lambda$ 可以用三元符号表示，即：

$\lambda=(A,B,\pi)$

状态转移矩阵 $A$ 和初始状态概率 $\pi$ 确定隐藏的马尔科夫链，生成不可观测的状态序列，观测概率矩阵 $B$ 确定了如何从观测状态生成观测序列。这里从wiki上面盗一张图，上面的 $x$ 即对应的状态序列， $y$ 表示的是观测序列：

隐马尔科夫模型的两个性质：

(1)齐次马尔科夫性假设，即使设隐藏的马尔科夫链在任意时刻 $t$ 的状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻的状态以及观测无关。

$P(i_t|i_{t-1},o_{t-1},...,i_1,o_1)=P(i_t|i_{t-1})$

这句话是什么意思呢？以上面的图为例，假设 $x(t)$ 表示的状态是前面例子里面的天气，那么 $x(t+1)$ 的天气与 $x(t-1)$ 的天气无关，只与 $x(t)$ 的天气有关。并且也与 $y(t+1)$ 无关。

(2) 观测独立性假设，即假设任意时刻的观测只依赖该时刻的马尔科夫链的状态，与其他观测和状态无关。

$P(o_t|i_T,o_T,i_{T-1},o_{T-1},...,i_1,o_1)=P(o_t|i_t)$

意思即为观测状态 $o_t$ 只与对应的 $i_t$ 有关。而与其他的状态无关。下面以一个具体例子帮助理解。

盒子与球模型

假设有4个盒子，每一个盒子里面都装有红白两种颜色的球，盒子里面的红白求数有下面表格给出。

盒子	1	2	3	4
红球数	5	3	6	8
白球数	5	7	4	2

按照下面的方法抽球，并且产生一个关于球的颜色观测序列：首先从四个盒子中等概率随机抽取一个求。记录颜色然后放回盒子，然后根据当前的概率随机转移到下一个盒子。规则是：当前盒子为1，下个盒子一定是2，当前盒子为2或者3。分别以0.4和0.6的概率转移到左边或者右边的盒子，如果当前盒子为4，那么各以0.5的概率转移到盒子3或者停留在盒子4。随机抽取一个球，如此重复5次，得到一个球的颜色的观察序列：

$O=\{红,红,白,白,红\}$

上述过程中，球的颜色序列为观测序列，而抽取的盒子的序列为状态序列。为了清楚表示状态之间的转换，我们将抽盒子规则用马尔可夫链表示出来。

所以盒子对应的状态集合是

$Q=\{1,2,3,4\}$

球的颜色的观测集合为：

$V=\{红,白\}$
状态序列和观测序列的长度 $T=5$

初始分布概率为

$\pi=(0.25,0.25,0.25,0.25)$

状态转移概率分布为

$A= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0.4& 0 & 0.6 & 0\\ 0 & 0.4 & 0 & 0.6\\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \end{matrix} \right]$

观测序列为

$B= \left[ \begin{matrix} 0.5 & 0.5\\ 0.3 & 0.7 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.8 & 0.2 \end{matrix} \right]$

三个基本问题

马尔科夫模型的3个基本问题。

(1)概率计算问题。给定模型 $\lambda=(A,B,\pi)$ 和观测序列 $O=(o_1,o_2,...,o_T)$ 计算在模型 $\lambda$ 下观测序列为 $O$ 的概率 $P(O|\lambda)$

(2)学习问题。已知观测序列 $O=(o_1,o_2,...,o_T)$ ，估计模型 $\lambda=(A,B,\pi)$ 的参数，使得在该模型下观测序列概率 $P(O|\lambda)$ 最大。

(3)预测问题，也成为解码问题。已知模型 $\lambda=(A,B,\pi)$ 和观测序列 $O=(o_1,o_2,...,o_T)$ ,求对给定的观测序列概率 $P(I|O)$ 的最大值。即给定观测序列，求最有可能的对应状态序列。

三个问题的联系

下面这段是个人理解，可能存在偏差。比如我们以语音识别为例，状态序列对应着我们的输入语音，观测序列对应着输出的标签。学习问题应该是用在训练阶段，给定输入标签以及参数，，训练模型。预测问题则是用模型进行测试，给定了模型和输入，利用模型预测结果。至于第一个问题，应该是被用在训练阶段计算观测序列的概率。关于三个问题的详细推导将在下一张介绍。

参考资料

[1].隐马尔科夫模型，维基百科

[2].漫谈 HMM：Definition, pluskid的博客

[3].统计学习方法，李航

[4].数学之美，吴军

来源：CSDN

作者：gzj_1101

链接：https://blog.csdn.net/gzj_1101/article/details/79955340

标签

概率计算

马尔科夫