前言：参考《机器学习》，对偶问题没看懂。。。。（我只是一个代码的搬运工。。。）
机器学习专栏：
支持向量机（SVM）
1、基本原理
现给定数据集\(D={((x^{(1)},y^{(i)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)}))},y^{(i)}\in\{-1,1 \}\)，我们现在的目的就是找一个超平面将这两个类别的样本点分开。
在样本空间中，划分超平面可以由线性方程表示为：
\[w^Tx+b=0\]
则样本点\(x^{(i)}\)到超平面\((w,x)\)的距离为：
\[r=\frac{|w^Tx^{(i)}+b|}{||w||}\]
其中，\(||w||\)表示范数，这是空间的一个性质，一般指欧式范数。到原点距离的意思，超平面可以理解为平面中的直线、空间中的平面的推广到更高维度，但是作用都是划分。
一个超平面\((w,x)\)可以将它所在的空间分为两半, 它的法向量指向的那一半对应的一面是它的正面, 另一面则是它的反面，假设超平面\((w,x)\)能够将训练样本正确分类，即：
\[
\left\{\begin{matrix}
w^Tx^{(i)}+b>0，&&y^{(i)}=+1\\
w^Tx^{(i)}+b<0,&&y^{(i)}=-1
\end{matrix}\right.
\]
支持向量机要求满足：
\[
\left\{\begin{matrix}
w^Tx^{(i)}+b\geqslant+1，&&y^{(i)}=+1\\
w^Tx^{(i)}+b\leqslant -1,&&y^{(i)}=-1
\end{matrix}\right.
\]
距离超平面最近的样本点使上式等号成立，它们被称为“支持向量”（support vector）,两个异类支持向量到超平面的距离之和：
\[
\gamma =\frac{2}{||w||}
\]
被称为“间隔”（margin）
欲使分类效果更好，我们就要找到具有“最大间隔”的划分超平面，即：
\[
\mathop{max}\limits_{w,b} \quad \frac{2}{||w||}
\\
s.t. \quad y^{(i)}(w^Tx^{(i)}+b)\geqslant1,\quad i=1,2,...,m
\]
最大化\(\frac{2}{||w||}\)等价于最小化\(\frac{||w||^2}{2}\),，即：
\[
\mathop{min}\limits_{w,b} \quad \frac{||w||^2}{2}
\\
s.t. \quad y^{(i)}(w^Tx^{(i)}+b)\geqslant1,\quad i=1,2,...,m
\]
这就是SVM模型，是一个QP问题。（对偶问题以后再看吧，看不懂。）
2、软间隔
在处理现实问题的时候，我们其实很难找到一个能刚好划分的超平面，就算找到了，我们也不能确定这个结果不是由于过拟合导致。所以我们要放宽条件，即允许一些样本不满足约束条件，我们称为“软间隔”。
但是，我们在最大化间隔的时候，应使不满足约束条件的样本点尽可能少，即：
\[
\mathop{min}\limits_{w,b} \quad \frac{||w||^2}{2}+C\sum_{i=1}^{m}l_{0/1}(y^{(i)}(w^Tx^{(i)}+b)-1)
\]
其中，\(C>0\)取有限值常数，\(l_{0/1}\)是“0/1”损失函数
\[
l_{0/1}(z)=\left\{\begin{matrix}
1,&& if\quad z<0\\
0.&& otherwise
\end{matrix}\right.
\]
但是，\(l_{0/1}\)非凸、非连续，数学性质不好，常用“替代损失”（surrogate loss）函数代替：
- hinge损失：\(l_{hinge}(z)=max(0,1-z)\)
- 指数损失(exponential loss)：\(l_{exp}(z)=exp(-z)\)
- 对率损失(logistic loss)：\(l_{log}(z)=log(1+exp(-z))\)
若采用hinge损失，则模型表示为：
\[
\mathop{min}\limits_{w,b} \quad \frac{||w||^2}{2}+C\sum_{i=1}^{m}max(0,1-y^{(i)}(w^Tx^{(i)}+b))
\]
引入“松弛变量”\(\xi_i\geqslant0\)，可得“软间隔支持向量机”，但是要求在这个软间隔区域的样本点尽可能少，即：
\[
\mathop{min}\limits_{w,b} \quad \frac{||w||^2}{2}+C\sum_{i=1}^{m}\xi_i
\\
s.t. \quad y^{(i)}(w^Tx^{(i)}+b)\geqslant1-\xi_i,\quad i=1,2,...,m
\]
3、核函数
前面说的是线性可分的情况，那要是出现线性不可分怎么办？比如：
对于这样的问题，我们需要将样本从原始空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在这个特征空间线性可分。比如：现在有样本点如下，很明显我们用\(x^2\)二次项去拟合更好，这其实就是一个维度提升，核函数就是实现这样的作用的。
令\(\phi(x)\)表示将\(x\)映射后的特征向量，于是在新的特征空间的超平面表示为：
\[
f(x)=w^T\phi(x)+b
\]
此时，SVM模型表示为：
\[
\mathop{min}\limits_{w,b} \quad \frac{||w||^2}{2}
\\
s.t. \quad y^{(i)}(w^T\phi(x)+b)\geqslant1,\quad i=1,2,...,m
\]
（这里等我以后再慢慢弄懂）
4、sklearn实现SVM
# -*- coding:utf-8 -*-
"""
@author: 1
@file: SVM.py
@time: 2019/11/25 23:58
"""
from sklearn import svm
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
df = pd.read_csv(r'D:\workspace\python\machine learning\data\breast_cancer.csv',header=None)
X = df.iloc[:, 1:10] # 属性
y = df.iloc[:, 30] # 分类结果
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)
clf = svm.SVC(gamma='scale')
'''SVC(C=1.0, cache_size=200, class_weight=None, coef0=0.0,
decision_function_shape='ovr', degree=3, gamma='scale', kernel='rbf',
max_iter=-1, probability=False, random_state=None, shrinking=True,
tol=0.001, verbose=False)'''
clf.fit(X_train, y_train)
y_pred = clf.predict(X_test)
print('accuracy_score:', accuracy_score(y_test, y_pred))
5、SVM多分类
4.1多分类原理
1、一对多法（one-versus-rest，简称1-v-r SVMs）。训练时依次把某个类别的样本归为一类,其他剩余的样本归为另一类，这样k个类别的样本就构造出了k个SVM。分类时将未知样本分类为具有最大分类函数值的那类。（这个与逻辑回归的多分类原理相同）
2、一对一法（one-versus-one，简称1-v-1 SVMs）。其做法是在任意两类样本之间设计一个SVM，因此k个类别的样本就需要设计k(k-1)/2个SVM。当对一个未知样本进行分类时，最后得票最多的类别即为该未知样本的类别。Libsvm中的多类分类就是根据这个方法实现的。
3、层次支持向量机（H-SVMs）。层次分类法首先将所有类别分成两个子类，再将子类进一步划分成两个次级子类，如此循环，直到得到一个单独的类别为止。
4.2sklearn实现SVM多分类
# -*- coding:utf-8 -*-
"""
@author: 1
@file: SVM_mc.py
@time: 2019/11/26 20:34
"""
from sklearn import svm
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
df = pd.read_csv(r'D:\workspace\python\machine learning\data\iris.csv')
X = df.iloc[:, 0:3]
Y = df.iloc[:, 4]
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(X, Y, test_size=0.2)
clf = svm.SVC(gamma='scale', decision_function_shape='ovr') # 一对多法
# clf = svm.SVC(gamma='scale', decision_function_shape='ovo') 一对一法
clf.fit(x_train, y_train)
'''LinearSVC(C=1.0, class_weight=None, dual=True, fit_intercept=True,
intercept_scaling=1, loss='squared_hinge', max_iter=1000,
multi_class='ovr', penalty='l2', random_state=None, tol=0.0001,
verbose=0)'''
y_pred = clf.predict(x_test)
print('accuracy_score：', accuracy_score(y_test, y_pred))