概率论
事件的差
\(P(B-A) = P(B)-P(AB)\)
古典概型
可能性相同
个数有限
独立性
乘法公式
\(P(AB) = P(A)P(B|A)\)
推广:
\(P(A_1A_2A_3...A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})\)
独立性
若\(P(A_1A_2A_3...A_n) = P(A_1)P(A_2)...P(A_n)\)
则称\(A_1,A_2,...,A_n\)相互独立
独立性相当于:内在没有联系,它们不会影响彼此的发生
推论:
性质1:$P(B) = P(B|A) $
性质2:这些事情取反也是相互独立,很好证明
全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式
\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} {P(A_i)P(B|A_i)}\)
"全"概率公式，\(P(B)\)被分解成多部份之和
贝叶斯公式
\(P(A_i |B) = \frac{P(A_iB)}{P(B)}\)
\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} {P(A_i)P(B|A_i)}\)
\(P(A_i |B) = \frac{P(A_iB)}{\sum_{i=1}^{n} {P(A_i)P(B|A_i)}}\)
我们要知道一个概念：\(P(A_i)\) 叫做”先验概率“；
随机变量
离散型随机变量
0-1分布
又名 两点分布
$P{X = k} = {p^k} (1-p)^{1-k} $
二项分布
n重伯努利试验：独立重复地进行n次伯努利试验
1.每次都是伯努利试验：只有两个实验结果
2.独立表示每次试验结果与其他的不影响
3.重复表示：P(A)保持不变
二项分布记作\(X \sim B(n,p)\)
X为A发生的次数，且\(P(A) = p\)
泊松分布
\(P\{X = k\} = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} ,k = 0,1,2,...\)
\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，记为\(X \sim \pi(\lambda)\)
泊松分布的期望和方差均为\(\lambda\)
泊松分布与二项分布
当n很大，p很小的时候，泊松分布可以作为二项分布的近似，\(\lambda = np\)
泊松分布是由二项分布推导来的
应用：
泊松分布是重要的离散型分布之一
” 在实际事例中，当一个随机事件，
例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球，某网站在一定时间内被点击的次数，某路口一天内发生的交通事故数，某容器内部的细菌数；
以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性。） “
https://www.cnblogs.com/whnpygh/p/11113536.html
泊松分布的三个条件
1.小概率事件
2.相互独立
3.频率稳定
\(P\{X = k\} = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} ,k = 0,1,2,...\)
k:事件A的发生次数
随机变量的分布函数
\(F(x) = P\{X\leq x\}\)
叫做\(X\)的分布函数
\(F(-\infty) = lim F(x) = 0\)
\(F(+ \infty) = limF(x) = 1\)