PCA简介：
从n维数据中提取最能代表这组数据的m个向量，也就是对数据进行降维（n->m），提取特征。
目标：
找到一个向量\(\mu\)，使n个点在其上的投影的方差最大（投影后的数据越不集中，就说明每个向量彼此之间包含的相似信息越少，从而实现数据降维）
前提假设：
总的数据：
\[A = (x_1, x_2, \cdots , x_n)\]
\(X\)的协方差：
\[C = Cov(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x})^T\]
向量\(\mu\)：
\[|\mu| = 1 \Rightarrow \mu^T\mu = 1\]
证明：
易知\(x_i\)在\(\mu\)上的投影为\[(x_i-\overline{x})^T\cdot\mu\]
因为\((x_i-\overline{x})\)均值为0， 所以记其方差\(J\)为
\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^T\cdot\mu)^2\]
又因为上式平方项中为标量，故可以将\(J\)改写为
\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^T\cdot\mu)^T\cdot(x_i-\overline{x})^T\cdot\mu)\]
化简，得
\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mu^T(x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x})^T\mu\]
发现中间两项是协方差，带入，得
\[\mu^TC\mu\]
接下来就是一个在给定约束条件\(\mu^T\mu\) = 1，下的最优化问题，这里使用Lagrange乘数法求解
构造Lagrange函数\[L(\mu, C, \lambda) = \mu^TC\mu + \lambda(1-\mu^T\mu)\]
关于\(\mu\)求偏导，得
\[\frac{\partial J}{\partial \mu} = 2C\mu - 2\lambda\mu\]
令其等于0，得
\[C\mu = \lambda\mu\]
是不是有点眼熟？
没错，\(\lambda\)就是\(C\)的特征值（eigen-value），\(\mu\)就是\(C\)的特征向量（eigen-vector）
因此，这个我们要求的向量\(\mu\)就是\(C\)的特征向量（要m个，就取前m个最大的特征值对应的特征向量）