最大团

Easy and Hard Problems: 　　NP完全理论是为了在可处理的问题和不可处理的问题之间画一条线，目前最重要的问题是是否这两者是本质不同的，而这个问题目前还没有被解决。典型的结果是一些陈述，比如“如果问题B有一个多项式时间的算法，那么C也会有一个多项式时间的算法”，或者逆否表述为“如果C没有多项式时间的算法，那么B也没有”。第二个表述是说，对于一些问题C以及一个新的问题B，我们先去找是否有这种关系，如果有的话我们可能不想去做问题B，先来看看C。为了描述这些东西，需要不少形式主义的记号，我们在这里尽可能地少涉及。 　　先来看什么是问题？一个抽象的做决定问题是从问题实例集合I到{0,1}的映射，其中0代表错误，1代表正确。为了更严谨，我们把问题实例写成I到{0,1}*，也就是0/1组成的字符串，一个具体的做决定问题是从比特串到{0,1}的映射，我们把那些没有意义的问题映射到0。举个例子来说，对于最短路径问题，一个问题事实例是一个图以及两个顶点，做决定的问题是是否存在这两个顶点之间长度至多为k的一条路径。要注意的是，做决定问题不会比相应的最优算法要复杂，也就是说其复杂度小于等于最优算法，因此为了去证明相应的最优化算法是hard的，如果我们可以证明做决定问题是hard的，那么就可以达成我们的目标。（相当于充分性) 　　接着来看什么是多项式时间

一.结论： 1.最大匹配。 2.最小点覆盖：用最少的点去覆盖掉所有的边。 最小点覆盖 = 最大匹配 。 3.最小边覆盖：用最少的边区覆盖掉所有的点，单独一个点可看作一条边。 最小边覆盖 = 结点数 - 最大匹配 。 4.最大独立集：选出尽可能多的点使得他们之间没有关系（没有边相连）。 最大独立集 = 结点数 - 最大匹配 。 5.最大团：选出尽可能多的点使得他们构成一个完全图。 最大团 = 补图的最大独立集 。 6.最小路径覆盖（有向图）：选出最少的路径，使得每个点恰好在一条路径上，单独一个点可看作一条边。 最小路径覆盖 = 结点数 - 最大匹配 。 二.证明： 1.最小点覆盖 = 最大匹配： König定理，不会。 2.最小边覆盖（ans） = 结点数（n） - 最大匹配（cnt） 证明：我们假设图中不存在边，那么每个点都要一条边去覆盖，所以总共要n条覆盖边。之后我们考虑原图中的边，利用Hungary()算法求出最大匹配数为cnt，这就表明了：有cnt个点，可以与其他点共用一条覆盖边，于是就可以除去cnt条覆盖边。所以最小边覆盖：ans = n - cnt 。 3.最大独立集（ans） = 结点数（n） - 最大匹配（cnt） 建图：如果u和v有关系，或者说有冲突，那么就在u和v之间连上边。 证明：最大独立集，即在在图中 删去尽可能少的点， 使得剩下的点互相独立，即没有边的存在

最大团 = 补图的最大独立集； 最大独立集 = 顶点数 - 最大匹配； 所以最大团 = 顶点数 - 补图的最大匹配数； 来源： https://www.cnblogs.com/--HPY-7m/p/11808369.html