置换矩阵

置换矩阵P 置换矩阵（permutations）P是行重新排列了的单位矩阵。对于n×n的矩阵来说一共有n!种行变换的形式。所有的置换矩阵均是可逆的。 在求矩阵的逆，解方程组Ax=b,这些情况下如果出现主元位置为0的时候，就需要使用行互换。 A=LU，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。 P-1 = PT ，PTP = I P矩阵的转置乘以本身等于单位矩阵。 转置矩阵 转置（transpose）记作T，一个3行2列的矩阵，他的转置矩阵为2行3列，且（AT）ij = Aji。 对称矩阵 对称矩阵（symmetric matrices）,一个矩阵为对称矩阵意味着它经过转制之后该矩阵没有变化。AT=A。 一个矩阵乘以他的转置矩阵，得到的矩阵一定是对称矩阵。RTR is always symmetric。 但是为什么呢？ 我们利用定义来证明（RTR）T = RTRTT = RTR，注意这里的矩阵的转置的转置是原矩阵。验证完毕。 向量空间 向量空间（Vector Spaces） 举个例子，R2称为一个平面有所有的2维向量组成的向量空间。为了防止在运算过程中超出向量空间的范围，向量空间必须对数乘和加法两种运算是封闭的或者说对线性组合封闭。R2的子空间必须是过原点的线段，也可以是它本身。第三种R2的子空间是零向量。 这里没听太明白。。。 来源： CSDN 作者： CZZ_CS 链接： https:

QwQ……不知不觉这么久没写过博客了 感觉自己线代好菜啊……准备这些天去听听 吉尔伯特爷爷的公开课 ，好好自学一下 大概看了看时间安排，感觉一天两节课正好够 为了方便督促自己，每天把笔记贴在这里好了 1.方程组的几何解释 每一个 \(n\) 元线性方程组都可以用矩阵表示。除此之外还可以对方程组做以下解释： 行图像：每个方程的解都可以表示为 \(n\) 维空间内的一个超平面，所有超平面的交就是整个方程组的解。 （对于系数矩阵可逆的情况，所有超平面的交应当恰好是一个点。） 列图像：把方程组的每一列都看成一个列向量，那么方程组就可以看成 \(n\) 个列向量线性组合形成对应的常数向量。方程组的解代表每个列向量对应的系数。 在不考虑求解方程组时，列图像的思考方向还会产生另一个问题：列向量的所有线性组合能否充满整个 \(n\) 维空间？ 求解方程组的系统方法：消元法 2.矩阵消元 对于方程组 \(Ax=b\) ，可以用一系列初等变换将 \(A\) 变为上三角矩阵 \(U\) ，之后直接倒序回代即可得到整个方程组的解。通常称为高斯消元（Gauss Elimination）。 主元（pivot）不能为0。为了找到主元，可能还需要做一些行交换。 行列式等于主元之积 如果某一次无法找到任何主元，则说明此方程组无解或解不唯一，同时也说明 \(A\) 是奇异矩阵。

一、置换矩阵 　 一个矩阵的行或者列交换，可以借助另外一个矩阵相乘来实现 　 首先是行交换： $\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {2} & {2} & {2} \\ {3} & {3} & {3}\end{array}\right]}_{A} \stackrel{S_{12}}{\rightarrow} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{2} & {2} & {2} \\ {1} & {1} & {1} \\ {3} & {3} & {3}\end{array}\right]}_{A_{2}}$ 也就是矩阵的第一行和第二行进行了互换 　　 对于$A_2$的第一行，相当于从$A$中拿出了0个第一行，1个第二行，0个第三行进行加和 　　对于$A_2$的第二行，相当于从$A$中拿出了1个第一行，0个第二行，0个第三行进行加和 　　对于$A_2$的第三行，相当于从$A$中拿出了0个第一行，0个第二行，1个第三行进行加和 　　 之前我们讲过 ，行向量乘以一个矩阵，结果等于矩阵的每行的线性组合 　　上面的 $P_{12}$ 称为行置换矩阵。可以看出置换矩阵是行重新排列了的单位矩阵，它的一个特性是：$\mathrm{P}^{-1}=\mathrm{P}^{\mathrm{T}}$