正交投影

文章目录 1 正交基与标准正交基 2 一维投影 3 高维投影 4 标准正交基的性质 5 矩阵的QR分解 6 小结 参考资料 注：转载请标明原文出处链接： https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/103934420 1 正交基与标准正交基 来源： CSDN 作者： TechXYM 链接： https://blog.csdn.net/zaishuiyifangxym/article/details/103934420

首先申明下，本文为笔者学习《OpenGL ES应用开发实践指南（Android卷）》的笔记，涉及的代码均出自原书，如有需要，请到原书指定 源码地址 下载。 《 Android学习笔记——OpenGL ES的基本用法、绘制流程与着色器编译 》中实现了OpenGL ES的Android版HelloWorld，并且阐明了OpenGL ES的绘制流程，以及编译着色器的流程及注意事项。本文将从现实世界中图形显示的角度，说明OpenGL ES如何使得图像在移动设备上显示的更加真实。首先，物体有各种颜色的变化，在OpenGL ES中为了生成比较真实的图像，对图像进行平滑着色是一种常见的操作。其次，移动设备存在横竖屏的切换，进行图像显示时，需要根据屏幕方向考虑屏幕的宽高比，使图像不因屏幕切换而变形。最后，现实中的物体都是三维的，我们观察物体都带有一定的视角，因此需要在OpenGL ES实现三维图像的显示。本文主要包括以下内容： 平滑着色 自适应宽高 三维图像生成 一、平滑着色 平滑着色是通过在三角形的每个点上定义不同的颜色，在三角形的表面混合这些颜色得到的。那么，如何用三角形构成实际物体的表面呢？如何混合定义在顶点出的不同颜色呢？ 首先引入三角形扇的概念。以一个中心顶点作为起始，使用相邻的两个顶点创建第一个三角形，接下来的每个顶点都会创建一个三角形，围绕起始的中心点按扇形展开。为了使扇形闭合

投影矩阵推导(翻译) 原网址： http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/graphics/article.php/c10123/Deriving-Projection-Matrices.htm 3D矩阵变换中，投影矩阵是最复杂的。位移和缩放变换一目了然，旋转变换只要基本的三角函数就能想象出来，投影矩阵则很难凭借直觉想象出来。 总述：什么是投影 计算机显示屏是二维平面，所以如果你想显示三维物体，需要找到把三维物体渲染成二维图像的方法。这正是投影要做的。最简单的做法：直接丢掉三维物体各顶点的Z坐标。对于一个立方体，看起来像图1： 图1 通过丢掉Z坐标方法投影到XY平面 这种投影简单且不实用。所以，一开始就不应该投影到“面”（plane）上，而应该投影到一个“体”（volume）内，即所谓的“规范视域体”（canonical view volume）。规范视域体的顶点坐标在不同的API（DirectX/OpenGL）中有所不同。这里就用D3D的标准，从 （-1,-1,0）到（1,1,1）。当所有的顶点映射到规范视域体中后，XY坐标用来再映射到屏幕上。Z坐标看起来无用，不过通常用来表示深度信息。这也是为什么会投影到一个“体”，而不是“面”的原因。 下面将讲述两种常见变换：正交变换、透视变换。 正交变换 “正交”的由来是投影线与显示平面垂直

前言 在 深入理解Three.js中透视投影照相机PerspectiveCamera 那篇文章中讲解了透视投影摄像机的工作原理以及对应一些参数的解答，那篇文章中也说了会单独讲解 Three.js 中另一种常用的摄像机正交摄像机 OrthographicCamera ，这篇文章将会详细的讲解正交摄像机的工作原理和其对应参数的用法，当然，为了能够让读者更加直观的理解正交摄像机，我会制作一个与正交摄像机相关的 demo 来直观的让读者感受正交摄像机的魅力。 原理说明 深入理解Three.js中透视投影照相机PerspectiveCamera 文章中提到过正交摄像机和透视投影摄像机最大的区别是投影到的物体大小不受距离的影响，说直白点就是透视投影摄像机投影物体是通过点（下图a），相当于我们的眼睛，距离越远，能够看到的部分也就越小。正交摄像机投影物体是通过平面（下图b），无论距离有多远，投射到二维平面的线始终的是平行的，所以看上去就会感觉物体的大小没有受到任何影响。 正交摄像机参数说明 实现一个简单正交摄像机的代码如下： 1 var camera = new THREE.OrthographicCamera( width / - 2, width / 2, height / 2, height / - 2, 1, 1000 ); 2 scene.add( camera ); new THREE

原帖地址： http://blog.codinglabs.org/articles/pca-tutorial.html PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。网上关于PCA的文章有很多，但是大多数只描述了PCA的分析过程，而没有讲述其中的原理。这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理，帮助读者了解PCA的工作机制是什么。 当然我并不打算把文章写成纯数学文章，而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理，所以整个文章不会引入严格的数学推导。希望读者在看完这篇文章后能更好的明白PCA的工作原理。 数据的向量表示及降维问题 一般情况下，在数据挖掘和机器学习中，数据被表示为向量。例如某个淘宝店2012年全年的流量及交易情况可以看成一组记录的集合，其中每一天的数据是一条记录，格式如下： (日期, 浏览量, 访客数, 下单数, 成交数, 成交金额) 其中“日期”是一个记录标志而非度量值，而数据挖掘关心的大多是度量值，因此如果我们忽略日期这个字段后，我们得到一组记录，每条记录可以被表示为一个五维向量，其中一条看起来大约是这个样子： 注意这里我用了转置，因为习惯上使用列向量表示一条记录（后面会看到原因），本文后面也会遵循这个准则

14 正交向量与正交子空间 正交向量 正交就是垂直的另一种说法。两向量正交的判据之一就是其点积 当两个向量的夹角为90度的时候，按照勾股定理x,y满足: 正交子空间 子空间S与子空间T正交，则S中任意一个向量都与T中任意一个向量正交。 15 子空间投影 投影 几何解释：在向量a上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出距离点p最近就是穿过b点并与向量a正交的直线与向量a所在直线的交点上。这就是b在a上的投影。如果我们将向量p视为b的一种近似，则长度e=b-p就是这一近似的误差。 因为p在向量a的方向上，因此可以令p=xa，而因为它与e正交，我们可以得到方程： 解得： 投影矩阵 将投影问题用投影矩阵方式进行描述，即p=Pb，其中P为投影矩阵。 则有： 在高维投影 如果a1和a2构成平面的一组基，则平面就是矩阵A=[a1a2]的列空间 已知向量p在平面内，则有 而： 与平面正交，因此e与a1和a2均正交，因此 16 投影矩阵和最小二乘法 投影 如果向量b本身就在A列空间之内，即存在x使得Ax=b，则有： 如果向量b与A的列空间正交，即向量b在矩阵的左零空间N(A)中： 最小二乘法 最优解的含义即为误差最小，这里误差就是每个方程误差值的平方和 误差即为数据点到直线距离的平方和。 对于空间向量b，投影矩阵A的列向量中得到p=[p1 p2 p3]T,投影到矩阵A的零空间中则为e。 17

题目：压缩感知中的数学知识：投影矩阵（projection matrix） ========================背景======================== 关注于投影矩阵主要是看以下两个文献注意到的： 【1】杨海蓉，张成，丁大为，韦穗. 压缩传感理论与重构算法[J]. 电子学报，2011，39(1)：142-148. 【2】Rachel Zhang. “压缩感知”之“Helloworld”[EB/OL] .http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7775284 . 文献1写的还是很不错的，综述了很多压缩感知重构算法，且都是以表格的形式给出，总结的很好，以后写论文也要向这个方向挺近，但是这篇论文需要有一定基础的人才能才明白，因为我感觉总是突然冒出一个符号来（比如第1步的Λ0代表什么没说，Λ0等于的那个符号后来才知道是空矩阵的意思，当然这并不影响这篇论文的价值，推荐！），当然这可能是由于我的数学功底太差。下面是OMP重构算法： 要完全看懂文献1需要反复去读，要随着对压缩感知的理解越来越深反复去看，慢慢地才能消化的，看论文时也没懂什么，只是感觉写的不错，后来看文献2时发现代码里的重构算法是OMP，为了读懂代码于是又回来看文献1，前面三步都能明白，但第四步无论如何也理解不了：“张成空间”？正交投影？呃