有限域

1. 素域和单扩域 1.1 素域 　　域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若\(F\)是\(E\)的子域，\(E\)也叫\(F\)的 扩域 或 扩张 。扩张当然要从最简单的域开始，我们比较熟悉的简单域有哪些？最简单的无穷域是有理数域，它是最小的数域，任何数域都包含有理数域；最简单的有限域是整数在素数\(p\)下的剩余类域\(Z_p\)。这两种域都不再有真子域，我们把没有真子域的域称为 素域 ，一般记作\(\triangle\)。 　　那么除了这两种熟知的素域外，还有别的素域吗？每个域都含有单位元\(e\)，由\(e\)生成的域就是所有的素域，而它又是某个生成环的商域，故我们可以从\(e\)的生成环\(Z'=\{ne\}\)讨论起。当\(\text{char}\triangle=\infty\)时，\(Z'\)与整数环\(Z\)同构，从而它们的商域同构，即\(\triangle\cong\Bbb{Q}\)。当\(\text{char}\triangle=p\)时，前面已经讨论过，这样的环\(Z'\)都同构于同余环\(Z_p\)，进而有\(\triangle\cong Z_p\)。这样看来，同构意义的下的素域只有\(\Bbb{Q}\)和\(Z_p\)，而且任何域都包含且仅包含一个素域。