warshall算法

1.引言 图的连通性问题是图论研究的重要问题之一，在实际中有着广泛的应用。例如在通信网络的联通问题中，运输路线的规划问题等等都涉及图的连通性。因此传递闭包的计算需要一个高效率的算法，一个著名的算法就是warshall在1962年提出的 WarShall算法 。 2.算法描述 使用n阶布尔矩阵 \(R^{(k)}(0\leq k\leq n)\) 来表示有向图中任意一对节点 是否含有路径的信息。因此，可将原问题划分为如下决策阶段： \[R^{(0)},R^{(1)},\cdots，R^{(k)},\cdots ,R^{(n)}\] 具体来说，当且仅当从节点i到节点j存在一条有向路径，且该路径上的每一个中间节点的编号都不大于k时，矩阵 \(R^{(k)}\) 的第i行，第j列的元素 \(r_{ij}^{(k)}=1\) 。 对于 \(R^{(k)}\) 的计算我们可以由它的前趋 \(R^{(k-1)}\) 计算得到（分级推进计算）。 \(R^{(0)}\) ——该矩阵不允许它的路径中包含任何中间顶点，即从该矩阵的任意顶点出发的路径不含有中间顶点，此即邻接矩阵。 \(R^{(1)}\) ——允许路径中包含第1个顶点（本例编号1）作为中间顶点。 \(R^{(2)}\) ——允许路径中包含前2个顶点（本例编号1、2）作为中间顶点。 \(R^{(k)}\) —

———————————————————————————— Question：R是定义于集合S上的二元关系，求R的传递闭包。 Input：relation R，set A Output：t(R),which is the transitive closure of R Solution：Warshall algorithm ———————————————————————————— 传递闭包(transitive closure) R* = R 1 ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ ...... ∪ R n 解释一下，关系R的传递闭包也是一个关系，可以用R*表示也可以用t(R)表示。 Warshall算法是这样工作的： 首先我们把R用矩阵表示出来， 然后从第一列开始逐列遍历，对于第i列，从上到下遍历每个元素， 如果第i列第j行的元素为1，则将第i行对应着加到第j行上。 python模拟代码： #假定二维数组R的第一个下标为行标，第二个下标为列标。def warshall(R):　　n = size(R)　　for i in range(0,n-1):　　　　for j in range(0,n-1):　　　　　　if R[j][i]==1:　　　　　　　　R[j][:]+=R[i][:]　　return R 来源： https://www.cnblogs.com/dynmi/p