数论函数
原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8627380.html 省选后发现我数学好差。于是先从数论开始学习。 如果发现本文有任何错误,欢迎留言指正。 本文内容大致如下: 数论函数基础知识 狄利克雷卷积与莫比乌斯反演 杜教筛 例题 数论函数基础知识 几个定义 数论函数:定义域为正整数的函数。(默认下面提到的函数全部都是数论函数) 积性函数:如果$a,b$满足$gcd(a,b)=1$,则$f(ab)=f(a)f(b)$。 完全积性函数:对于任何$a,b$,满足$f(ab)=f(a)f(b)$。 几个积性函数 $1.$欧拉函数:$\varphi(n)=\large\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]$,是积性函数。 $2.$莫比乌斯函数:$\large\mu$ 当$n$有平方因子的时候,$\mu(n)=0$,否则设$n$为$k$个不同质因子的积,则$\mu(n)=(-1)^{k}$。 $3.$除数函数:这不是完全积性函数。$\sigma_{a}n=\sum_{d|n}d^{a}$。其中$d(n)=\sigma_{0}(n)$为$n$的因数个数,$\sigma_{1}(n)=\sigma(n)$为$n$的所有因数之和。 $4.$幂函数:这是完全积性函数。$id_k(n)$,表示$n^k$。 $5.$单位函数