电磁学知识点提要

电磁学知识点提要

版本：2020-05-01

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第1章　　静电场

　　本章通过对静电力的实验定律，引入电力线和等势面进行理论分析，最终得到了近距作用力场的性质。在这一过程中，用到了类比和从特殊到一般的物理思想，借助了微积分这一强大的数学工具，透过现象看本质。

第2章　　静电场中的导体和电介质

　　在真空中的静电场的基本方程的基础上，本章研究了静电场中的物质，一方面，外电场改变了物质的电荷分布（电场分布和电势分布），另一方面，物质的电荷分布影响外电场。在两种极端的物质性质的讨论中，从导体的静电平衡，到电介质的极化平衡，将真空中的基本方程推广到了电介质，并诞生了一种重要的储能元件——电容器。随后展开了对带电体系能量的聚集方式的研究，从微观点电荷之间的相互作用能，到连续带电体电荷元积分得到的总静电能，再分为宏观意义上的自能和相互作用能，断言了空间中的场和能量之间的密切联系。自始至终，贯穿着从特殊到一般和归纳类比的物理思想，大胆猜想小心论证始终是探索未知世界的金钥匙。

第3章　　恒定电流

　　在静电场基本方程和静电场中导体的性质的基础上，本章讨论了中学曾经接触过的电路中的应用，通过数学表达式，揭示了基本概念的联系、常用模型的由来和电路分析基本方法的本质，具体的原理层面的研究为抽象的方法层面的应用提供了科学依据，最后介绍了热电转化产生的热效应电动势及其应用。类比、等效和抽象的物理思想，在本章中贯穿始终。

第4章　　恒定磁场

　　电磁学一路走来，从真空中的点电荷产生的电场，到导体中的静电平衡（和电介质的极化效应），再到导体中恒定电流场的形成，最后载流导线产生磁场。和电场的研究方法类似，不考虑磁介质的磁化，通过真空中的实验定律（安培定律和毕奥-萨伐尔定律）的理论演绎，得到积分形式的高斯定理和安培环路定理，再通过Stokes公式得到微分形式，揭示了磁场的本质是一个有旋无源场。最后研究了磁场中的相互作用及其应用，电流元和带电粒子的运动的等效，将磁力分为宏观的安培力和微观的洛伦兹力，既实现了电与磁的统一，也实现了微观和宏观的统一。

第5章　　磁介质

　　本章用到的最多的物理思想是类比，电介质和磁介质之间既有共同点，也有不同之处，这是由电场和磁场的性质决定的，根本原因是场的成因（两种电荷和电流元）。研究方法是从极化和磁化的微观机理出发，建立电偶极子和分子环流模型，引入三个宏观的描述电介质和磁介质的物理量，再根据极化电荷（分布）和磁化电流产生的退极化场和退磁化场的性质，对外场进行叠加，产生影响，得到第一组关系（库仑定律和毕奥-萨伐尔定律），根据微观图象得到极化模型和磁化模型的普遍规律，和第一组关系理论演绎的结果，改变高斯定理和安培环路定理的形式，引入辅助矢量（电位移矢量和磁场强度），得到第二组关系（电位移矢量的高斯定理和磁场强度的环路定理），进而以定义的方式建立第三组关系（极化规律和磁化规律），并根据系数的形式将介质分类，依次讨论线性性、方向均匀性（各向同性）和空间均匀性，定量分析均匀介质的均匀极化和均匀磁化，定性分析非线性介质和非单值关系的代表——铁电体和铁磁体，讨论电滞回线和磁滞回线的物理意义和微观模型。最后在没有自由电荷和传导电流的假设下研究介质的两组界面条件（恒定磁场和恒定电场），根据电力线和磁感应线的折射关系，建立电路和磁路模型（恒定电流场和恒定“磁流”场），并提供电磁屏蔽的理论依据。

第6章　　电磁感应和暂态过程

　　本章从磁生电入手，定量地给出了感应电动势的大小，并从能量的角度给出了感应电动势的方向，随后从动生和感生两个角度解释了非静电力的原因（洛伦兹力的分力和涡旋电场），引入了麦克斯韦在电磁学中的预言（变化的磁场产生涡旋电场，变化的电场产生电磁波），拓宽了对静电场和磁场的理解。和电容器对应，给出了磁场中的基本元件——电感，自感作为整体性质，互感作为内部性质，对应两种能量形式自感磁能和互感磁能，和静电场中自能和互能地位等同。根据一路走来始终坚持的近距作用思想和场的观点，通过电场和磁场中的基本元件（电容和电感）的储能性质，将有介质存在的电磁场的能量定域于空间中，定义了电磁场的能量和能量密度。最后，研究了交变电路和暂态过程的三个基本假设，将恒定电流场中的欧姆定律（积分形式）和基尔霍夫定律推广，并定量地研究一阶和二阶暂态过程，和振动与波中的结果殊途同归。

第7章　　交流电路

　　本章简述了交流电的分析方法，通过傅里叶变换使交流电分解为简谐交流电，对于线性电路而言，简谐交流电具有频率相互独立性，因此可以分析同频简谐量。在暂态过程和交变电路的三个基本假设下，欧姆定律（积分形式）和基尔霍夫定律成立，但是在形式上需要改变，这是因为瞬时值不仅仅与量（有效值和峰值）有关，还与相位有关，这也是有别于直流电路的本质，因此分别引入阻抗和相位差研究元件特性。最初通过类比振动与波的旋转矢量，给出了矢量图解法，随后引入了复数这一强有力的数学工具，从代数上统一了直流电路和交流电路，在复阻抗和复导纳的意义下，直流电路的分析方法完全使用于交流电路。根据电容和电感这两个电路元件独特的性质，设计出了具有旁路作用和相移作用的滤波电路，是电路设计的基础。继续和振动与波中的共振类比，在电路中引入了谐振的概念，并提出了两种最基本的谐振电路（RLC串联谐振电路和RLC并联谐振电路），对于谐振的情形，引入了交流电路的品质因子，具有诸多物理意义，在此启发下，研究了交流电路的功率，对于电压和电流同相的分量，提出了具有实际意义的有效功率，并归纳总结出核心——功率因子，在矢量图解法和复数解法结合的研究中（数形结合），引入了一系列相似三角形，最后回到交流电路和直流电路区别的本质（电压和电流的相位差）。尽管这一部分的内容是浅显的、简略的，但是对于后续模拟电路的作用是基础的、重要的。

第8章　　麦克斯韦电磁理论和电磁波

　　本章是电磁学的核心所在，既总结了之前所学，又在此基础上有新的探索。电场分为自由电荷激发的势场（有源无旋）和变化的磁场产生的涡旋电场（无源左旋）两种，磁场也分为传导电流产生的磁场（无源右旋）和位移电流产生的磁场（无源右旋）两种，不同的场有不同的通量和散度（高斯定理），也有不同的环量和旋度（环路定理）。到目前为止，电磁学经历了两次重要的升华，第一次是将电介质的极化电荷和磁介质的磁化电流内在地蕴含在电位移矢量和磁场强度中，将真空中的基本方程推广到了介质中，第二次是涡旋电场（变化的磁场）和位移电流（变化的电场+极化电流）的引入，解释了感生电动势和电容器的传导电流去向（内在蕴含了传导电流的连续性方程）。尽管概念纷繁复杂，但是只要抓住了电磁现象的机理，一切都将迎刃而解。

　　本章的核心是由四个矢量泛定方程组成的麦克斯韦方程组的具体应用，只有结合介质条件和边界条件，才能对具体的电磁场问题定解。电磁学理论在电磁波中得到了具体的应用，从理论推导到实验验证，证实了麦克斯韦方程组的正确性，就此开启了电动力学的大门。

　　从库仑定律到麦克斯韦方程组一路走来，最为重要的不是掌握知识本身，而是看到前辈探索真理过程中的心路历程，将物理思想真正内化为自己的东西，继往开来。

复习（一）　　电磁场基本公式

【1】辅助矢量

（1）电位移矢量：$\overrightarrow{D}=\varepsilon_0 \overrightarrow{E}+\overrightarrow{D}$。

（2）磁场强度：$\overrightarrow{H}=\dfrac{\overrightarrow{B}}{\mu_0}-\overrightarrow{M}$。

【2】泛定方程（麦克斯韦方程组）

（1）电场：$\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_\text{势}}+\overrightarrow{E_\text{旋}},\overrightarrow{D}=\overrightarrow{D_\text{势}}+\overrightarrow{D_\text{旋}}$。

（a）静电场（自由电荷$q_0$和极化电荷$q'$）：库仑定律$\overrightarrow{F}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{r^2}\overrightarrow{r^0}$。

高斯定理：电位移矢量的通量为$\sum\limits_{S\text{内}}q_{0i}$，散度$\nabla\cdot\overrightarrow{D}_\text{势}=\rho_{0e}$，有源。

环路定理：电场强度的环量为零（保守场/有势场/无旋场），旋度$\nabla\times\overrightarrow{E}_\text{势}=0$，无旋。

（b）涡旋电场（变化的磁场）

高斯定理：电位移矢量的通量为零，散度$\nabla\cdot\overrightarrow{D}_\text{旋}=0$，无源。

环路定理：电场强度的环量为$-\iint\limits_S\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{S}$，旋度/感生电动势$\nabla\times\overrightarrow{E_\text{旋}}=-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}$，左旋。

（2）磁场：$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2},\overrightarrow{H}=\overrightarrow{H_1}+\overrightarrow{H_2}$。

（a）静磁场（传导电流$I_0$和磁化电流$I'$）：安培定律/毕奥-萨伐尔定律$d\overrightarrow{B_1}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{r^0}}{r^2}$。

高斯定理：磁感应强度的通量为零，散度$\nabla\cdot\overrightarrow{B}_1=0$，不存在磁单极子，无源。

环路定理：磁场强度的环量为$\sum\limits_{\text{穿过}L}I_{0i}$，旋度$\nabla\times\overrightarrow{H_1}=\overrightarrow{j_0}$，右旋。

（b）位移电流（变化的电场）

高斯定理：磁感应强度的通量为零，散度$\nabla\cdot\overrightarrow{B}_2=0$，无源。

环路定理：磁场强度的环量为$\iint\limits_S\dfrac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{S}$，旋度/位移电流密度$\nabla\times\overrightarrow{H_2}=\dfrac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}$，右旋。

【3】介质方程（外部条件）

（1）线性电介质：$\overrightarrow{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\overrightarrow{E}=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\chi_e}\overrightarrow{P},\varepsilon_r=1+\chi_e$，方向均匀性->空间均匀性->均匀极化。

（2）线性磁介质：$\overrightarrow{B}=\mu_0\mu_r\overrightarrow{H}=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\chi_m}\overrightarrow{M},\varepsilon_m=1+\chi_m$，方向均匀性->空间均匀性->均匀磁化。

（3）传导电流密度：欧姆定律和电阻定律，$\overrightarrow{j}=\sigma\overrightarrow{E},\sigma=\dfrac{1}{\rho},R=\rho\dfrac{l}{S}$。

（4）非静电力：单位电荷克服电场力做功，$\overrightarrow{j}=\sigma(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{K})$，动生电动势非静电力$\overrightarrow{K}=\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}$。

（5）电荷分布和电流分布：实验测定。

【4】边界条件（积分形式）：无自由电荷，无传导电路，取消似稳条件。

（1）法向连续（内积）：电位移矢量、磁感应轻度、传导电流密度。

（2）切向连续（外积）：电场强度、磁场强度。

（3）趋肤效应：高频条件下，导体和真空界面，传导电流密度和。

复习（二）　　电路基本公式

【1】直流电路

（1）电荷守恒：恒定条件，传导电流密度矢量的通量（散度）为零；基尔霍夫第一定律$\sum\limits_{\rm in}I_i=\sum\limits_{\rm out}I_i$。

（2）能量守恒：环路定理，恒定电场强度的环量（旋度）为零；基尔霍夫第二定律$\sum\limits_{\rm up}U_i=\sum\limits_{\rm down}U_i$。

【2】简谐交流电路：似稳+集总+线性

（1）瞬时值：简谐量$a(t)=A_0\cos(\omega t+\varphi_a)$满足直流电路定律，频率关系$\omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T}$，振幅关系$A=\dfrac{A_0}{\sqrt{2}}$，相位关系。

（2）复数解法：$\widetilde{A}=Ae^{i\varphi}=A(\cos\varphi+j\sin\varphi),\widetilde{Z}=\dfrac{\widetilde{U}}{\widetilde{I}},\widetilde{Z_R}=R,\widetilde{Z_C}=\dfrac{1}{j\omega C},\widetilde{Z_L}=j\omega L$，复数形式的直流电路。

（3）矢量图解：电阻基准+比例+相位差（角），旋转矢量叠加。

参考文献

【1】《电磁学（第三版）》，赵凯华，陈熙谋，高等教育出版社，2011年7月

【2】《电磁学（第三版）》，梁灿彬，秦光戎，梁竹健，高等教育出版社，2012年12月

【3】《普通物理学（第六版）》（上册），程守洙，江之永，高等教育出版社，2016年5月

【4】北京大学《电磁学》慕课，主讲：王稼军，穆良柱，2020年春

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