CSP2019初赛知识点梳理
知识点 小 汇总 Catalan数 公式1: \(f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)\times f(n-1-i)\) ,其中 \(f(0)=1\) 如何去理解这个公式? 我们可以 感性地 把这个化为一个二叉树状态方案问题。 当n=1的时候显然方案数为1,即f(1)=1 当n=2的时候,有以下情况 左边sz 右边sz 总方案 1 0 \(f(1)\times f(0)=1\) 0 1 \(f(0)\times f(1)=1\) 所以f(2)=5 当n=3的时候,有以下情况 左边sz 右边sz 总方案 2 0 \(f(2)\times f(0)=5\) 1 1 \(f(1)\times f(1)=1\) 0 2 \(f(0)\times f(2)=5\) 所以f(3)=11 那么我们这样往下推,就得到了 左边sz 右边sz 总方案 n-1 0 \(f(n-1)\times f(0)\) n-2 1 \(f(n-2)\times f(1)\) n-3 2 \(f(n-3)\times f(2)\) …… …… …… 2 n-3 \(f(2)\times f(n-3)\) 1 n-2 \(f(1)\times f(n-2)\) 0 n-1 \(f(0)\times f(n-1)\) 故得到上述式子。 公式2: \(f(n)=\frac{1}{n+1}C^n_{2n}\)