海森矩阵

海森矩阵（Hessian Matrix） Hessian Matrix：二阶导和函数曲率 海森 & 机器学习 特征值、凸性和鞍点 Key Words: Hessian Matrix, second order derivatives, convexity, and saddle points 原文链接： Hessian, second order derivatives, convexity, and saddle points 翻译： Hessian Matrix：二阶导和函数曲率 回忆一下 f f f 的梯度 f : R n → R f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} f : R n → R ： f ′ ( x ) = [ δ f δ x 1 , δ f δ x 2 , ⋯   , δ f δ x n ] (1) f'(x) = [\frac{\delta f}{\delta x_1}, \frac{\delta f}{\delta x_2}, \cdots, \frac{\delta f}{\delta x_n} ]\tag{1} f ′ ( x ) = [ δ x 1 ​ δ f ​ , δ x 2 ​ δ f ​ , ⋯ , δ x n ​ δ f ​ ] ( 1 ) 求 f f f 的二阶导意味着，我们可以看到第 i i i

多元函数的Hessian矩阵就类似一元函数的二阶导。 多元函数Hessian矩阵半正定就相当于一元函数二阶导非负，半负定就相当于一元函数二阶导非正。如果这个类比成立的话，凸函数的Hessian恒半正定就非常容易理解了——这是一元凸函数二阶导必非负的多元拓展。 至于为什么这个类是有道理的，你要这么看。对一元函数f(x)来说，就极值而言，一阶导为0是极值点的必要但不充分条件，一阶导为0切二阶导非负是极小值的充要条件。 为什么呢，因为有泰勒展开 。如果一阶导为0，二阶导非负，dx不论是多少，f(x)一定不比f(x0)小。 你把多元函数也个泰勒展开，主要区别在于： 1) 二阶导变成了Hessian。 2) 以前只要考虑x怎么变，现在还要考虑y怎么变，x和y怎么一起变，头疼了很多。 以二元为例， 从一元的情况类比过来，如果一阶导为0，是不是极小值完全取决于不同的dx, dy下，能不能做到最后一项一直非负。 只有对于任意 , 一直非负的情况，我们才能说这是极小值。如果 一直非正，这就是极大值。如果它一会正一会负，就是鞍点。 然后“对于任意 , 一直非负”这是啥？半正定的定义嘛！它就是这么引出来的，也是我们为什么需要半正定这个概念的原因 我们首先假设 函数在定义域上连续 函数在定义域上二阶可导 现在要证明的是： definition 1st-order condition 1st-order