傅里叶变换

浅谈傅里叶变换、小波变换、HHT变换 一、傅里叶变换 1.1傅里叶变换介绍 二、小波变换 2.1小波变换正反变换公式 2.2小波变换适应场景及其优缺点 2.3小波变换的应用 三、HHT变换 3.1HHT产生的背景 3.2 HHT变换介绍 3.3 HHT对信号分析的框图 3.4 EMD经验模式分解的基本原理 致谢 一、傅里叶变换 1.1傅里叶变换介绍 \quad 我们生活中常见的信息的描述基本上都是在时域空间内进行描述的，如下图1所示；但如果当我们碰到一些杂乱无章的信号需要处理时，如图二所示，我们就很难在时域空间内分析出任何有用信息。于是伟大的傅里叶提出了傅里叶变换理论，将时域空间内的信息可以转换到频域空间，并且将两个空间通过一套完整的转换公式联系起来。于是我们可以对图二的时域信号进行傅里叶变换，我们则会得到像图三（此处图三并不代表图二的频域显示图，我只是为了讲解时域到频域这一变换，还望理解）所示的信号在频域空间的分布图。 \quad 1822年，法国工程师傅里叶指出：一个“任意”的周期函数 x ( t ) x(t) x ( t ) 都可以分解为无穷个不同频率正弦信号的和，即傅里叶级数。其中求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。如下所示，第一个公式我们称之为傅里叶变换，将时域信号 f ( t ) f(t) f ( t ) 在整个区间 R R R 内进行积分，转换为频域信号 F ( w

傅里叶变换（非常经典）非常容易懂，值得收藏 1 傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763358 2 如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧 http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19759362 3 如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧（二） http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763231 作 者：韩 昊 知 乎：Heinrich 微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 来源： CSDN 作者： Elvirangel 链接： https://blog.csdn.net/Elvirangel/article/details/103773725

傅里叶变换 时域和频域是反应一个信号的两个方面，时域刻画信号在某一时刻的幅值情况，而频域则表现信号的在某一种变化程度（频率）上的分量。 根据时域的离散与周期的不同傅里叶变换可以分成四种，时域或频域的离散对应着另一个域是周期的，而非周期则对应另一个域是连续的。 连续非周期：符号法 在matlab里使用syms可以定义符号变量，与矩阵变量不同，不需要我们手动对其值进行初始化，符号变量可以更好地刻画完整的函数（而不是以矩阵保留某一部分函数值），在函数形式变换、方程求解等等方面很方便。fourier函数可以对符号表达式进行傅里叶变换，并可以求出变换后的表达式， 以如下函数为例 syms t; y=sin(0.5*pi*t)/(pi*t); %2sinc(0.5t) Y=fourier(y) %进行傅里叶变换 figure(1); ezplot(y); %原函数 ylim([-0.5 1]); figure(2); ezplot(Y,[-pi,pi]); %变换后函数 原函数： 傅里叶变换以后： 门函数与sinc函数是一组傅里叶变换对，这是信号中常用的一组变换。可以看到matlab为我们计算了傅里叶变换后的函数表达式，如果Y=fourier(y) 不加‘；’结尾，可以在命令行输出该表达式： 注意： 1、ezplot函数自变量是函数表达式，只能以表达式的形式画图

想要了解什么是傅里叶变换的，墙裂推荐这篇文章： 傅里叶变换 在Opencv中，涉及傅里叶变换的函数主要就是cv2.dft()和cv2.idft()，输入图像需要先转换成np.float32 格式。 得到的结果中频率为0的部分会在左上角，通常要转换到中心位置，可以通过shift变换来实现。 cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部，虚部），通常还需要转换成图像格式才能展示（0,255）。 import numpy as np import cv2 import matplotlib . pyplot as plt # 加载图片 img = cv2 . imread ( 'lena.jpg' , 0 ) # 将像素从整型转换到浮点型 img_float32 = np . float32 ( img ) # 傅里叶变换--时域->频域 dft = cv2 . dft ( img_float32 , flags = cv2 . DFT_COMPLEX_OUTPUT ) # 将结果转换到中心位置 dft_shift = np . fft . fftshift ( dft ) # 得到灰度图能表示的形式 magnitude_spectrum = 20 * np . log ( cv2 . magnitude ( dft_shift [ : , : , 0 ] , dft_shift [ :

https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html 来源： https://www.cnblogs.com/ransn/p/12221706.html

号称最快的FFT算法。是个C语言程序集。 下面是具体应用方法和注意事项： 以复数傅里叶变换为例了。我用到的就是复数的计算。 1.定义输入输出变量 fftw_complex * fttInput; //输入需要变换的复数数据 fftw_complex * fttOutput;//输出变换后的复数结果 2.定义变换方案 fftw_plan p;//创建变换方案。例如我做的是对图像的傅里叶变换 就选择p = fftw_plan_dft_2d。对一维数据做变换就选择fftw_plan_dft_1d. 3.实施变换 fftw_execute(p1);//实施变换 4.注意事项：一个fftw_plan只能对固定的in/out进行变换， 但可以在变换后改变in的内容（大小不变）以用同一个方案执行新的变换。这个尤其重要。在我的试验中发现第一次对某个图像做傅里叶变换时，性能并没有提升反而慢于opencv，然而对同样大小图像内容不同做多次变换（不重新创建plan）时，性能提升明显。所以提速关键应该在此吧。还有FFTW_FORWARD是正变换，FFTW_BACKWARD是逆变换。 上完整代码如下： fftw_complex * fttinput; fftw_complex * fttoutput; fftw_plan p; fttinput = (fftw_complex *)fftw_malloc

3.1 矩阵特征值和奇异值 3.1.1 行列式、逆和秩 det(A) 求方阵A的行列式 rank(A) 求A的秩 inv(A) 求A的逆矩阵 pinv(A) 求A的伪逆 3.1.2 特征值和特征向量的求取 E=eig(A)：用于求A的全部特征值，构成向量E [V,D]=eig(A)：用于求A的全部特征值，构成对角矩阵D，并求A的特征向量构成V的列向量 3.2 概率和统计 3.2.1 基本分析函数 sum函数：用于求矩阵列矩阵元素或向量的和 B=sum(A)：若A为向量，则返回所有元素的和；如A为矩阵，则返回其他各列所有元素和 B=sum(A,dim)：返回A中第dim维的所有元素和 cumsum函数：用于求矩阵或向量的累积和 B=cumsum(A)：若输入参数A为一个向量，则返回该向量所有元素累积和，若A为矩阵，则返回该矩阵各列元素的累计和，即返回一个行向量 B=cumsum(A,dim) A为矩阵，若dim=1，则表示在列方向上求累计和；若dim=2，则表示在行方向上求累计和 cumsum是累计和，结果中含有每一步的运算结果，sum给出的则是最终求和的结果 prod函数：用于求矩阵元素的积 B=prod(A)：若A为向量，则返回所有所元素的积；若A为矩阵，则返回各列所有元素积 B=prod(A,dim)：返回A中第dim维所有元素的积 sort函数

Q1：时域与频域是什么？ 时域故名思议就是随着时间的推移，我们所能直观感受的东西或事物，比如说音乐，我们听到动听的音乐，这是在时域上发生的事情。 而对于演奏者来说音乐是一些固定的音符，我们听到的音乐在频域内是一个永恒的音符，音符的个数是有限且固定的，但可以组合出无限多的乐曲。 傅立叶也告诉我们，任何周期函数都可以看作不同振幅，不同相位的正弦波的叠加。就像用音符组合出音乐一样。 贯穿时域和频域的方法之一，就是傅立叶分析，傅立叶分析又分为两个部分：傅立叶级数和傅立叶变换。 Q2：傅立叶级数是啥？ 傅立叶级数指出任何周期函数都可以看作不同振幅，不同相位的正弦波的叠加。 对比傅立叶变换：傅立叶变换指出非周期的函数（函数曲线下的面积是有限的）也可以用正弦或余弦乘以加权函数的积分来表示。 说的过程大概是这样子的： 在傅立叶级数中要介绍两个概念：频谱（幅度谱），相位谱。 有了这两个东西之后我们就可以更容易理解把周期函数拆分为各个正弦函数叠加的过程了。 频谱（幅度谱） 之前我们提到了时域和频域，从不同的“域”来看可能会产生很不一样的效果，到底有多不一样呢？先上个图来看一下。 可以看出，从时域来看，我们会看到一个近似为矩形的波，而我们知道这个矩形的波可以被差分为一些正弦波的叠加。 而从频域方向来看，我们就看到了每一个正弦波的幅值，可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线

作者：童哲 链接：https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817 来源：知乎 著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。 行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的， 理解只需要三步 。这酸爽~ 1，行列式 是针对一个 的矩阵 而言的。 表示一个 维空间到 维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个 维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成 维空间中的一个新立方体。 2，原来立方体有一个体积 ，新的立方体也有一个体积 。 3，行列式 是一个数对不对？这个数其实就是 ，结束了。 就这么简单？没错，就这么简单。 所以说：行列式的本质就是一句话： 行列式就是线性变换的放大率！ 理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质： 道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！ 你先进行一个 变换，再进行一个 变换，放大两次的放大率，就是式子左边。 你把“先进行 变换，再进行 变换”定义作一个新的变换，叫做“ ”，新变换的放大律就是式子右边。 然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式