《应用泛函分析》习题解答
以下所有题目来自科学出版社 许天周的《应用泛函分析》。 1. 设$1 \le p \le q \le +\infty$，证明$l^p \subset l^q$。 证明： $\forall x=(x_1,x_2,\ldots) \in l^p$，$\forall \varepsilon >0$，恒存在自然数N，使得$\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p<\varepsilon^p$， 那么可得 ${||x_k||}^p<\varepsilon^p \Rightarrow {||x_k||}<\varepsilon，p \ge 1$， 进而 $\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^q \le \varepsilon^{q-p}\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p< + \infty$ 所以$x \in l^q$ 2. 设[a,b]是有界闭区间，证明$L^2([a,b]) \subset L^1([a,b])$。 证明： $\forall x \in L^2([a,b]) $，有$[\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}<+\infty$，那么 $\int_a^b|f|dt \le [\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}[\int_a^b 1 dt]^{