动态规划算法

国家集训队曾经发表过的论文总结 国家集训队1999论文集 陈宏：《数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起》 来煜坤：《把握本质，灵活运用——动态规划的深入探讨》 齐鑫：《搜索方法中的剪枝优化》 邵铮：《数学模型的建立、比较和应用》 石润婷：《隐蔽化、多维化、开放化——论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性》 杨帆：《准确性、全面性、美观性——测试数据设计中的三要素》 周咏基：《论随机化算法的原理与设计》 国家集训队2000论文集 陈彧：《信息学竞赛中的思维方法》 方奇：《动态规划》 高寒蕊：《递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用》 郭一：《数学模型及其在信息学竞赛中的应用》 江鹏：《探索构造法解题模式》 李刚：《动态规划的深入讨论》 龙翀：《解决空间规模问题的几种常用的存储结构》 骆骥：《数学模型的建立和选择》 施遥：《人工智能在围棋程序中的应用》 肖洲：《数据结构的在程序设计中的应用》 谢婧：《规模化问题的解题策略》 徐串：《论程序的调试技巧》 徐静：《图论模型的建立与转化》 杨江明：《论数学策略在信息学问题中的应用》 杨培：《非最优化算法初探》 张辰：《动态规划的特点及其应用》 张力：《类比思想在解题中的应用》 张一飞：《冗繁削尽留清瘦——浅谈信息的充分利用》 国家集训队2001论文集 符文杰：《Pólya原理及其应用》 高寒蕊：

一，问题描述 有个小孩上楼梯，共有N阶楼梯， 小孩一次可以上1阶，2阶或者3阶 。走到N阶楼梯，一共有多少种走法？ 二，问题分析 DP之自顶向下分析方式： 爬到第N阶楼梯，一共只有三种情况( 全划分，加法原理 )， 从第N-1阶爬1阶到第N阶；从第N-2阶爬2阶到第N阶；从第N-3爬3阶到第N阶 。 故：way(N)=way(N-1)+way(N-2)+way(N-3) 这与求Fib数列非常相似，当然，其他类似的问题也可以这样求解。 初始条件： way(1)=1 way(2)=2 way(3)=4 这里解释一下way(3)=4。爬到第3层一共有4种方式：每次爬一层，1+1+1=3；先爬一层，再爬二层，1+2=3；先爬二层，再爬一层，2+1=3；一次性爬三层。 三，代码实现 public class WaysOfLadder { public static int ways(int n){ if(n <= 0) throw new IllegalArgumentException(); return waysLadder(n); } //递归算法爬上第n阶楼梯一共需要多少种方式 private static int waysLadder(int n){ assert n > 0; //base condition if(n == 1) return 1; if(n == 2)

小浩：宜信科技中心攻城狮一枚，热爱算法，热爱学习，不拘泥于枯燥编程代码，更喜欢用轻松方式把问题简单阐述，希望喜欢的小伙伴可以多多关注！ 动态规划系列一：爬楼梯 1.1 概念讲解 讲解动态规划的资料很多，官方的定义是指把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。概念中的各阶段之间的关系，其实指的就是状态转移方程。很多人觉得DP难（下文统称动态规划为DP），根本原因是因为DP区别于一些固定形式的算法（比如DFS、二分法、KMP），没有实际的步骤规定第一步第二步来做什么，所以准确的说，DP其实是一种解决问题的思想。 这种思想的本质是：一个规模比较大的问题（可以用两三个参数表示的问题），可以通过若干规模较小的问题的结果来得到的（通常会寻求到一些特殊的计算逻辑，如求最值等） 所以我们一般看到的状态转移方程，基本都是这样： opt ：指代特殊的计算逻辑，通常为max or min。 i,j,k 都是在定义DP方程中用到的参数。 dp[i] = opt(dp[i-1])+1 dp[i][j] = w(i,j,k) + opt(dp[i-1][k]) dp[i][j] = opt(dp[i-1][j] + xi, dp[i][j-1] + yj, ...) 每一个状态转移方程，多少都有一些细微的差别。这个其实很容易理解，世间的关系多了去了，不可能抽象出完全可以套用的公式

在刘汝佳黑书上有详细的解析，自己明天这两种算法自己实现一下，作为对动态规划的深入理解学习 先转一个题解http://blog.163.com/leyni@126/blog/static/16223010220103155534476/?fromdm&fromSearch&isFromSearchEngine=yes 问题：括号匹配问题。给出一个由括号组成字符串，加最少的括号使之匹配。 思路： 设f[i][j]为从i到j这段字串达到匹配所需最少括号数。 初始状态：f[i][i] = 1; 状态转移： f[i][j] = min{f[i + 1][j - 1 | s[i]与s[j]匹配]，f[i + 1][j] | s[i]为左括号，f[i][j - 1] | s[i]为右括号，min{f[i][k]+f[k][j]}} #include <iostream> #include <stdlib.h> #include <string.h> using namespace std; const int MAX = 102; char s[MAX]; int f[MAX][MAX], path[MAX][MAX], n; void print(int l, int r){ if (l > r) return; if (l == r){ if (s[l] == '(' || s[l] ==

A - Max Sum Plus Plus 进入正文： Now I think you have got an AC in Ignatius.L’s “Max Sum” problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem. Given a consecutive number sequence S 1, S 2, S 3, S 4 … S x, … S n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S i + … + S j (1 ≤ i ≤ j ≤ n). Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i 1, j 1) + sum(i 2, j 2) + sum(i 3, j 3) + … + sum(i m, j m) maximal (i x ≤ i y ≤ j x or i x ≤ j y ≤ j x is not

建议 做到50行以内的程序不用调试、100行以内的二分钟内调试成功. acm主要是考算法的，主要时间是花在思考算法上，不是花在写程序与debug上。 算法集锦 https://www.cnblogs.com/ngyifeng/p/3718601.html 书籍推荐 入门三本： 《数据结构与算法》（傅清祥，王晓东编著，我所见过的最好的算法教材） 程序设计导引及在线实践 作者: 李文新 ACM程序设计培训教程 吴昊 基础提高： 算法设计与分析 这是国内牛人王晓东的大作，非常不错的算法书 算法设计与试验题解 王晓东 计算几何－算法设计与分析 周培德 组合数学 第三版 冯舜玺 译 算法艺术与信息学竞赛 刘汝佳的杰作，引导着信息学竞赛的发展 如果算法导论是九阳神功，那这本无疑就是九阴真经。本书是专为参加一些诸如ACM之类程序设计比赛的同学而写的，江湖人称“黑书”。里面讲的都是一些在编程比赛中常用的算法、数据结构，以及一些数论和计算几何等。我虽然并不搞竞赛，但也从此书中受益颇多。 国际信息学奥林匹克竞赛指导— — 实用算法的分析与程序设计　 吴文虎 王建德 Introduction to Algorithm 科曼著 传说中的宝典 算法导论（原书第3版） Algorithms 算法概论 短小精悍，别据一格，准经典之作。一个坏消息: 同算法导论，该书没有习题答案。好消息：习题很经典，难度也适中

CF1015F Bracket Substring 这题一眼 GT考试 题意: 求有多少种合法的括号序列要求字符串S是其字串 数据范围大概是一个 \(\Theta(n^3)\) 的算法 从前往后填括号, 设 \(F[i][j][k]\) 表示填到第 \(i\) 位, "和"为 \(j\) , 匹配了 \(S k\) 位, 其中和的定义为将左括号看做1, 右括号看作-1, 一个合法的括号序列的前缀和总大于等于零且本身的和为零(一个左括号一定匹配一个右括号) \(dp\) 时只需枚举下一位填 \('('\) 或 \(')'\) 即可, 但要注意的是匹配 \(S\) 串时从第 \(k\) 位不匹配不是直接重新从0开始匹配而是求出它的 \(kmp\) 数组, 找到上一个 \(border\) , 可以参考代码 #pragma GCC optimize(2) #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define ll long long using namespace std; template <typename T> void read(T &x) { x = 0; bool f = 0; char c = getchar(); for (;!isdigit(c);c

/*This is the template of *.cpp files */ #include<iostream> #include<vector> using namespace std; int cut_rod(int *p,int n ){//暴力法求最优切割 if(n == 0) return 0; int q = -1; for(int i = 1;i<=n;++i){ q = q>p[i] + cut_rod(p,n-i)?q:p[i] + cut_rod(p,n-i); } return q; } int end_cut_rod(int *p,int n){//自底向上动态规划算法求最优切割方法的价值 以及切割方案 int *r = new int[n+1]; int *s = new int[n+1]; for(int m = 0;m<=n;++m){ r[m] = 0; s[m] = 0; } for(int i = 1;i <= n;++i){ for(int j = 0;j < i;++j){ int temp = r[j] + p[i-j]; if(r[i] < temp){ r[i] = temp; s[i] = i - j; } } } int k = n; while(k > 0){ cout<<s[k]<<endl; k = k - s[k];

学习自 https://www.jianshu.com/p/b97b0bb78b6c 一.问题分析: 将凸多边形内部划分成若干三角形,每一条线都带权 哪一种划法,让 三角形的权最小? 因其具有最优子结构: 所以,总问题的最优解=子问题的最优解+ 一个三角形的权 即 举例来说:当程序运行到i=0,j=5,k=3时: 设: 求解的是多边形{V0,V1,........Vn-1} bestWeight[ i ] [ j ] =m 表示它的一个子多边形{Vi , Vi+1 , ... , Vj-1 , Vj}的最优解=m (所以最终解为bsetWeight[ 0 ][ n-1 ]) bestPoint[ i ] [ j ] = k 表示该子多边形出现最优解时,构成的三角形为{ Vi , Vk , Vj }. 当i==j时,子问题退化成了点 ; 当i+1=j时,子问题退化成了一条线. 此时要退出,并且bestWeight[ i ] [ j ] =0;bestPoint[ i ] [ j ] = -1 二.代码实现 const int N = 6; vector<vector<int>> weight = {// 给出权函数。 {0, 2, 3, 1, 5, 6}, {2, 0, 3, 4, 8, 6}, {3, 3, 0, 10, 13, 7}, {1, 4, 10, 0, 12, 5},

先来看直线的： N堆石子摆成一条线。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。 例如： 1 2 3 4，有不少合并方法 1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19) 1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24) 1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20) 括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。 Input 第1行：N（2 <= N <= 100) 第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A i i <= 10000) Output 输出最小合并代价 Sample Input 4 1 2 3 4 Sample Output 19 虽然知道这是一道dp题目，但是刚开始的时候怎么也想不出怎么做状态转移，于是又是blog和csdn一顿搜，终于搞出来了。 我们设dp[i][j]是从第i堆石子到第j堆石子合并的最小代价，sum[i]是前i堆石子的数量之和，那么状态转移方程就是： dp[i][j]=min(dp[i][j]，dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])