单位根

%iki9 介绍 朴素地，带入x=-1和1，可以求出k=2的情况，之后就无能为力了。 感觉需要一个东西划分“更细”一些，于是考虑单位根 分是否整除进行讨论即可证明 大力展开式子，套用上面的公式即可证明 条件 1.实现的时候，必须要找到ai，并且构造一种等价变形，使得f(x)可以快速计算 2.该模数意义下，必须存在k次单位根，即p-1 mod k=0 好处 可以O(k*time(f))计算答案，如果time(f)很快，那么基本和n的关系不大了。 例题 A 一道题 bzoj 3328 都是利用C(n,i)二项式定理还原，直接O(logn)求f(x) 后面的bz题也可以直接套用通项公式，维护pair<> B 白兔之舞 [HNOI2019]白兔之舞 对于多个mod =t的可以考虑用NTT，一般情况应该也都能推出NTT的式子吧。。。 总结 挺套路的，基本形式很明显：mod k=t次项系数，k不大，且k是p-1的约数 难点在于：找到生成函数ai的计算式，找到F(x)的快速计算式。然后就是套用公式了。 一般暴力计算是O(n/k)的，单位根反演恰好相反，是O(k)的！！！ 来源： https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10824122.html

平稳性 平稳性定义 时间序列 X t X_t X t ​ 来自于一个概率分布，且满足： 1、 均值为与时间无关的常数； 2、方差是与时间无关的常数； 3、协方差至于时间间隔有关，与时间无关； 则称该随机时间序列是 平稳的 ，该随机过程是一个 平稳随机过程 。 白噪声 X t = μ t , μ ～ N ( 0 , σ 2 ) X_t=\mu_t,\qquad \mu ～N(0,\sigma^2) X t ​ = μ t ​ , μ ～ N ( 0 , σ 2 ) 这个序列称为 白噪声 ,由于具有相同的均值与方差，且协方差为零，满足以上定义，是平稳的。 随机游走 X t = X t − 1 + μ t X_t=X_{t-1}+\mu_t X t ​ = X t − 1 ​ + μ t ​ 该序列有相同的均值。但是方差呢？我们递推可得： X t = X 0 + μ 1 + . . . + μ t X_t=X_0+\mu_1+...+\mu_t X t ​ = X 0 ​ + μ 1 ​ + . . . + μ t ​ 则Var ( X t ) = t σ 2 (X_t)=t\sigma^2 ( X t ​ ) = t σ 2 ,故非平稳。 但是可以取差分得到平稳序列： Δ X t = X t − X t − 1 = μ t \Delta X_t=X_t-X_{t-1}=\mu_t Δ

前言 蒟蒻代码惨遭卡常，根本跑不过 前置芝士——单位根反演 单位根有这样的性质： \[ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ki}=\left[n|k\right] \] 所以可以得出单位根反演的式子 如果有 \(f(x)=\sum_{i=0}a_ix^i\) ，就可以推出 \[ \sum_{i=0}^na_i\left[d|i\right]=\frac{1}{d}\sum_{p=0}^{d-1}f(\omega_d^p) \] 证明可以把上面的式子代入，然后交换和号 思路 这道题要求的东西是这样的 \[ \sum_{i=0}^3a_i\sum_{j=0}^n\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)s^j\left[j\%4=i\right] \] 写出 \(\sum_{j=0}^n\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)s^j\) 的生成函数，由二项式定理得到是 \((sx+1)^n\) 不妨设i=0 则要求 \[ \sum_{j=0}^n\left(\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right)s^j\left[4|j\right] \] 直接套公式 原式等于 \[ \frac{1}{4}\sum_{p=0}^3f(

【多项式】FFT Preface 本文对所有 \(\LaTeX\) 编译后生成的文本共有大约 \(7000\) 字，其中前半部分为前置知识部分，介绍了多项式的有关概念、运算法则以及复数的概念、运算法则以及单位根有关内容，并证明了蝴蝶操作所用到的有关复数的两个重要引理公式。如果你对上述内容已经有了解，可以跳过 Pre-knowledge 部分。 Pre-knowledge 部分大约有 \(2000\) 字。 由于内容比较长，本文还没有经审阅人完全审阅完成，如果您发现了文本中的错误，请私信或评论我指出。 Pre-knowledge 多项式 Definition 称一个关于 \(x\) 的式子 \[f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i \times x^i\] 为一个 \(n\) 次多项式，其中 \(a_i\) 为常数。称 \(n\) 为 \(f(x)\) 的次数。显然， \(f(x)\) 可以看做一个关于 \(x\) 的 \(n\) 次函数 \(y = f(x)\) 。 回忆初中解析几何最后一个大题的第一问，正常情况下都是给定三个点的坐标，求一个关于 \(x\) 的二次曲线解析式方程。而类似的如果求一条直线的解析式，则需要给出两个点的坐标。 类似的，对于如果想要确定一个 \(n\) 次函数的解析式，则需要 \(n + 1\) 个点的坐标。这是因为一个 \(n\)

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。 在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。 我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。 而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。 ——这就是对傅里叶世界观的描述。 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。 下面进入正式环节↓↓↓↓↓↓ 傅里叶公式： 其中： 这就是鼎鼎大名的傅里叶公式！ 简单的理解： 每一个信号，在某个特定的配方下， 都可以由简单的正弦曲线组成 。傅里叶男爵猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。具体需要多少呢？无数个！【嘿， 上帝才不会让你这么简单的就发现他】 （插入题外话：为什么是男爵呢？傅里叶大佬曾经跟着拿破仑混过） 傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的 无限叠加。 而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 深入理解看这里：https://www.matongxue.com/madocs/619.html 为什么信号分析采用傅里叶变换？ 时域信号在经过傅立叶变换的分解之后，变为了不同正弦波信号的叠加，我们再去分析这些正弦波的频率，可以将一个信号变换到频域。