超越数

图一 丁小平先生回母校清华大学参加校庆时与同学合影 来源：环球网 时间： 2019-09-17 16:45 从丁小平先生在第四届世界数学科学大会发表《浅谈现行微积分原理的错误》和《新微积分原理简介》算起，至今已有九年。这九年中，丁小平先生一直通过发表论文和讲学等方式揭示现行微积分原理的错误，同时，讲授他的新微积分原理，到目前为止，不了解他的学术结论的数学家已经寥寥无几，但公开支持他学术结论的不多，试图驳倒他的一个都没有成功，而私下支持他学术结论的却比比皆是。笔者试 从科学史角度谈谈自己对丁小平研究工作的浅见 。 微积分的历程 牛顿和莱布尼兹，分别在1665年和1673年独自创建微积分方法体系并建立各自的微积分原理，其结果是：微积分方法放之四海而皆准，但微积分原理始终不能自圆其说。在牛顿的微积分原理中，由于构造流数(即导数)的需要，牛顿人为地引入小量，可是，当流数构造出之后，牛顿又觉得流数后的小量或“o”的组合项是个麻烦，于是，牛顿又人为地将它舍弃。逻辑学告知世人，如果一个量无论多小都得引入，那它就不可以忽视;如果一个量小得可以忽视，那它就不必引入。据此，基督教北爱尔兰地区克罗因主教贝克莱嘲笑牛顿的“o”是幽灵。在莱布尼兹的微积分原理中，莱布尼兹定义两个要多近就可以多近的变量的差为微分，微分的逐点累加就是积分(将积分区分为不定积分与定积分是多余的)，积分的微化就是微分

1882年林德曼在埃米尔特所证：$e$为超越数的基础上，借助于欧拉公式$e^{i\pi}+1=0$证明了$\pi$的超越性。证明了$\pi$的超越性自然就证明了圆周率必定是无理数，而其另一个证明方法可以参考：http://www.jjmath.com/archives/489 定理：(林德曼 Lindemann) $\pi$是超越数 证明：由于$i$是代数数，又由于两代数数之积及商仍为代数数，可知$\pi$与$i\pi$或均为代数数，或均为非代数数。所以只需证明$i\pi$为非代数数即可。 假设$i\pi$满足$$f(x)=ax^m+a_1x^{m-1}+\cdots=0,\quad a>0$$ 则$ai\pi$满足$$a^{m-1}f(\frac{x}{a})=x^m+a_1x^{m-1}+\cdots=0$$ 又因为$i\pi$与$ai\pi$同为代数数或非代数数。现证明$ai\pi$满足某一代数方程$P(y)=0$是不可能的。此处$$P(y)=y^m+K_{m-1}y^{m-1}+\cdots+K_0=0$$ 命$$P(y)=\prod_{h=1}^m(y-a\alpha_h)$$ 因为$1+e^{i\pi}=0$,故只需证明$$R=\prod_{h=1}^m(e^0-e^{\alpha_h})\neq 0$$ 而$$R=C+e^{\beta_1}+e^{\beta_2}+

1882年林德曼在埃米尔特所证：$e$为超越数的基础上，借助于欧拉公式$e^{i\pi}+1=0$证明了$\pi$的超越性。证明了$\pi$的超越性自然就证明了圆周率必定是无理数，而其另一个证明方法可以参考：http://www.jjmath.com/archives/489 定理：(林德曼 Lindemann) $\pi$是超越数 证明：由于$i$是代数数，又由于两代数数之积及商仍为代数数，可知$\pi$与$i\pi$或均为代数数，或均为非代数数。所以只需证明$i\pi$为非代数数即可。 假设$i\pi$满足$$f(x)=ax^m+a_1x^{m-1}+\cdots=0,\quad a>0$$ 则$ai\pi$满足$$a^{m-1}f(\frac{x}{a})=x^m+a_1x^{m-1}+\cdots=0$$ 又因为$i\pi$与$ai\pi$同为代数数或非代数数。现证明$ai\pi$满足某一代数方程$P(y)=0$是不可能的。此处$$P(y)=y^m+K_{m-1}y^{m-1}+\cdots+K_0=0$$ 命$$P(y)=\prod_{h=1}^m(y-a\alpha_h)$$ 因为$1+e^{i\pi}=0$,故只需证明$$R=\prod_{h=1}^m(e^0-e^{\alpha_h})\neq 0$$ 而$$R=C+e^{\beta_1}+e^{\beta_2}+