序列比对（25）编辑距离

本文介绍两个字符串的编辑距离并给出代码。

编辑距离

所谓编辑距离，就是给定两个字符串后，将一个字符串变为另一个字符串所需要花费的最少步骤。这个改变包括“插入一个字符”、“删除一个字符”，“替换一个字符”。比如：$\bm{v}=TGCATAT$与$\bm{w}=ATCCGAT$这两个字符串的编辑距离为4。

编辑距离的求解过程和全局比对是十分相似的（关于全局比对，可以参见前文《序列比对（一）全局比对Needleman-Wunsch算法》），都需要全部符号参与比对，都允许插入、缺失和错配。所以，编辑距离可以用动态规划算法求解，其迭代公式是：

$\begin{aligned} & \text{$F(i,j)$ is the minimum score of alignments between $x_{1 \ldots i}$ and $y_{1 \ldots j}$.} \\ & F(i, 0) = i \quad \text{for $i = 0 \ldots m$.} \\ & F(0, j) = j \quad \text{for $j = 1 \ldots n$.} \\ & s(i,j) = \begin{cases} 0 & \text{if $x_i = y_j$,} \\ 1 & \text{otherwise.} \end{cases} \\ & F(i, j) = \min \begin{cases} F(i - 1, j) + 1, \\ F(i, j - 1) + 1, \\ F(i - 1, j - 1) + s(i, j) \end{cases} \end{aligned}$

效果如下：

（公众号：生信了）

编辑距离与最长公共子序列

在只允许插入和缺失而不允许错配的情况下，两个字符串的编辑距离可以通过最长公共子序列的长度（关于最长公共子序列，可以参看前文《序列比对（24）最长公共子序列》）间接算出来。

在只允许插入和缺失而不允许错配的情况下，假设给定两个字符串$\bm{v}$和$\bm{w}$，长度分别为$m$和$n$。将最长公共子序列的长度记为$LC(\bm{v}, \bm{w})$而将编辑距离记为$DE(\bm{v}, \bm{w})$的话，那么：
$DE(\bm{v}, \bm{w}) = m + n - 2 \times LC(\bm{v}, \bm{w})$

求解编辑距离的代码

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define MAXSEQ 1000 #define GAP_CHAR '-' #define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b)) #define diff(a, b) ((a) == (b) ? 0 : 1)  struct Unit {     int W1;   // 是否往上回溯一格     int W2;   // 是否往左上回溯一格     int W3;   // 是否往左回溯一格     int M;      // 得分矩阵第(i, j)这个单元的分值，即序列s(1,...,i)与序列r(1,...,j)比对的最低得分 }; typedef struct Unit *pUnit;  void strUpper(char *s); void printAlign(pUnit** a, const int i, const int j, char* s, char* r, char* saln, char* raln, int n); void align(char *s, char *r);  int main() {     char s[MAXSEQ];     char r[MAXSEQ];     printf("The 1st seq: ");     scanf("%s", s);     printf("The 2nd seq: ");     scanf("%s", r);     align(s, r);     return 0; }  void strUpper(char *s) {     while (*s != '\0') {         if (*s >= 'a' && *s <= 'z') {             *s -= 32;         }         s++;     } }  void printAlign(pUnit** a, const int i, const int j, char* s, char* r, char* saln, char* raln, int n) {     int k;     pUnit p = a[i][j];     if (! i && ! j) {   // 到达(0, 0)         for (k = n - 1; k >= 0; k--)             printf("%c", saln[k]);         printf("\n");         for (k = n - 1; k >= 0; k--)             printf("%c", raln[k]);         printf("\n\n");         return;     }     if (p->W1) {    // 向上回溯一格         saln[n] = s[i - 1];         raln[n] = GAP_CHAR;         printAlign(a, i - 1, j, s, r, saln, raln, n + 1);     }     if (p->W2) {    // 向左上回溯一格         saln[n] = s[i - 1];         raln[n] = r[j - 1];         printAlign(a, i - 1, j - 1, s, r, saln, raln, n + 1);     }     if (p->W3) {     // 向左回溯一格         saln[n] = GAP_CHAR;         raln[n] = r[j - 1];         printAlign(a, i, j - 1, s, r, saln, raln, n + 1);     } }  void align(char *s, char *r) {     int i, j;     int m = strlen(s);     int n = strlen(r);     int m1, m2, m3, minm;     pUnit **aUnit;     char* salign;     char* ralign;     // 初始化     if ((aUnit = (pUnit **) malloc(sizeof(pUnit*) * (m + 1))) == NULL) {         fputs("Error: Out of space!\n", stderr);         exit(1);     }     for (i = 0; i <= m; i++) {         if ((aUnit[i] = (pUnit *) malloc(sizeof(pUnit) * (n + 1))) == NULL) {             fputs("Error: Out of space!\n", stderr);             exit(1);              }         for (j = 0; j <= n; j++) {             if ((aUnit[i][j] = (pUnit) malloc(sizeof(struct Unit))) == NULL) {                 fputs("Error: Out of space!\n", stderr);                 exit(1);                  }             aUnit[i][j]->W1 = 0;             aUnit[i][j]->W2 = 0;             aUnit[i][j]->W3 = 0;         }     }     for (i = 0; i <= m; i++) {         aUnit[i][0]->M = i;         aUnit[i][0]->W1 = 1;     }     for (j = 1; j <= n; j++) {         aUnit[0][j]->M = j;         aUnit[0][j]->W3 = 1;     }     // 将字符串都变成大写     strUpper(s);     strUpper(r);     // 动态规划算法计算得分矩阵每个单元的分值     for (i = 1; i