差分数组与前缀和

前缀和
前缀和顾名思义就是前面i个数的总和。
假设有一个序列A，前缀和为S。根据概念很容易知到公式
$S[i]=\displaystyle \sum_{j=1}^iA[j]$

如何求区间$[l,r]$的和呢？
$sum[l,r]=s[r]-s[l-1]$

那如果要对多个不同区间

$[l,r]$进行加减操作呢？然后输出某个区间$[l,r]$的区间和,接下来就要用到差分数组了
差分数组

设原数组为$A[i]$,差分数组为$B[i]$,则：

\[B[i]=\begin{cases} A[i]&i=1\\ A[i]-A[i-1]&i\geq2 \end{cases}\]

差分数组的性质：
- 如果对区间$[l,r]$进行修改，只需修改$B[l],B[r+1]$($B[l]$加上修改值，$B[r+1]$减去修改值）
- $A[i]=\displaystyle \sum_{j=1}^{i}B[j]$（通过$B[i]=A[i]-A[i-1]$证明）
- $S[x]=\displaystyle \sum_{i=1}^{x}A[i]=\displaystyle \sum_{i=1}^{x} \displaystyle \sum_{j=1}^{i}B[j]=\displaystyle \sum _{i=1}^{x}(x-i+1)*B[i] $

有n个数。m个操作,每一次操作，将x~y区间的所有数增加z；

最后有q个询问，每一次询问求出x~y的区间和。

设原数组为$A[i]$

步骤：

先求出差分数组$B[i]=A[i]-A[i-1]$
在根据$m$个造作修改$B[i]$
求修改后的$A[i]=A[i-1]+B[i]$
求前缀和$S[i]=S[i-1]+A[i]$
最后输出区间和$sum[x,y]=S[y]-S[x-1]$

这道题很简单，没有要求输出区间和，也不用先求出差分数组

#include<iostream> using namespace std; int n;  //n个航班 int i;  //i条预定记录 int b[20005];   //差分数组  int main() {     cin>>n>>i;     for(int j=0;j<i;j++)     {         int x,y,z;  //[x,y]预定了z个座位         cin>>x>>y>>z;         b[x]+=z;         b[y+1]-=z;     }     for(int k=1;k<=n;k++)     {         b[i]+=b[i-1];         cout<<b[i]<<' ';     }      }

前面都是一维前缀和，再举个一位前缀和的栗子 最大子矩阵

没有涉及区间修改，只是求前缀和

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int m,n;    //整数矩阵 int x,y;    //所求子矩阵的长和宽 int b[1000][1000]; int ans;  int main() {     cin>>m>>n>>x>>y;     int t;     for(int i=1;i<=m;i++)         for(int j=1;j<=n;j++)         {             cin>>t;             b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]+b[i-1][j-1]+t;             if(i>=x&&j>=y)                 ans=max(ans,b[i][j]-b[i-x][j]-b[i][j-y]-b[i-x][j-y]);                         }     cout<<ans<<endl; }

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数组公式