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在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离
通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线
因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲线作为距离
从A到B的距离又是多少呢？
显然不能计算直线距离，比较合理的距离，应该是走一个L字型 （这里就不画出来了…）
两个向量之间的距离又该如何定义呢？
两条曲线之间的距离呢？
情形1：
情形2：
情形3：
其中d1d1是最常见的也就是中学所学的距离
注意这里只能取最大值，不能取最小值。一旦取了最小值，则任意两个有交点的曲线的距离都为0，显然，这样是有问题，所以只能去最大值
看了那么多距离，我们如何定义呢？
则称d(x,y)d(x,y)是这两点之间的距离。
- 有向量的加法和数乘
- 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；
- 向量加法交换律：v + w = w + v；
- 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；
- 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；
- 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v；
- 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。
||x||是Rn的范数||x||是Rn的范数
注意：可以简单的看成到零点距离多了（2）；所以范数就是一个更加具体的距离！！！
我们接下来，有两个方向可以走，一个是在距离上面加东西，让距离更加具体化，另一种是在距离上减东西，让距离更加抽象画，像范数就是让距离更加具体化了
所以
||x||=d(0,x),但||αx||=d(0,αx)≠|α|||x||,||x||=d(0,x),但||αx||=d(0,αx)≠|α|||x||,
所以，一旦定义了抽象的距离，我们就必须习惯用定义去证明对错，而不能用中学的距离，来进行判断。
赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间
若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间
答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所以，我们才有了接下来的内容。
赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念――两个向量的夹角，为了克服这一缺陷，我们引入：内积
设(x,y)∈R，且满足：设(x,y)∈R，且满足：
（1）对称性；（1）对称性；
（2）对第一变元的线性性；（2）对第一变元的线性性；
（3）正定性；（3）正定性；
也可以定义为：(f,g)=∫∞0f(x)g(y)dx(f,g)=∫0∞f(x)g(y)dx
所以：
内积可在空间中建立 欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几里得空间。
所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间
接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
内积空间+完备性→Hilbert空间内积空间+完备性→Hilbert空间
线性赋范空间+完备性→Banach空间线性赋范空间+完备性→Banach空间
简单的说就是空间在极限运算中，取极限不能跑出去。所以，显然有理数集，无理数集不具有完备性。实数集具有完备性
所以所谓的拓扑空间实际上就是个圈子。
总结：任何空间，你永远问两件事：1.元素是什么 2.规则是什么；知道这两个就知道怎么描述一个空间。
拓扑是“弱化”了的距离；
上海交通大学公开课：数学之旅
自己写给自己看的，逻辑上不一定很连贯，如果有看的不清楚的地方，建议观看原版视频，链接如下：
http://open.163.com/movie/2013/3/T/0/M8PTB0GHI_M8PTBUHT0.html