模运算：
取模：计算除以m的余数，叫做对m取模
同余：将a,b对m取模的结果相同，记为(modm)(modm(modm)，则有 (modm(modm)
线性同余方程：
a,b是整数，形如 ax ≡ b (mod n)，且x是未知整数的同余式称为一元线性同余方程。
定理：同余方程 ax ≡ b (mod n) 对于未知数 x 有解，当且仅当 b 是 gcd(a,n)的倍数。否则方程无解。且方程有解时，方程有 gcd(a,n)个解。
这里根据取余的概念可以得出，假如 a%n = b 的话，可以写出一个等式 a = n*t +b；
求解线性同余方程的方法：这里根据上面很容易得出下面两个等式：
ax = n*y1
b = n*y2 + 余数
上面两式相减得 ax - b = n(y1-y2
那么根据这个等式采用扩展欧几里得算法就能够得出 x 的值。也就解出了线性同余方程。
例题：青蛙的约会
思路：因为线总长L，青蛙需要循环跳才有可能碰面。而循环跳的话那么它们的位置只能通过对L取余得到。根据题意，假设它们需要跳k次才能碰面，那么很容易得出这个同余组(modL)。而根据上面的讲解我们也可以得到下面两个等式：
1
y + k*n = L*t2
还是上面两式相减
然后再对比扩展欧几里得算法
然后根据上面写代码即可：
1 import java.util.Scanner; 2 3 // 求解同余方程的本质就是求线性方程 4 // 将求余方程转化为线性方程 5 public class 青蛙的约会 { 6 7 public static void main(String[] args) { 8 Scanner scanner = new Scanner(System.in); 9 long x = scanner.nextInt(); // 坐标 10 long y = scanner.nextInt(); // 坐标 11 long m = scanner.nextInt(); // A第一次跳 12 long n = scanner.nextInt(); // B第一次跳 13 long l = scanner.nextInt(); // 维度总长 14 15 long a = m-n; 16 long b = l; 17 m = y-x; 18 long d = 0; 19 try { 20 d = ExtGcd.linearEquation(a, b, m); 21 } catch (Exception e) { 22 System.out.println("Impossible"); 23 } // 求解线性方程 24 long x0 = ExtGcd.x; 25 b /= d; // 约一下 26 b = Math.abs(b); // 有可能小于0 27 /*=========这里是AC的关键===========*/ 28 x0 = (x0%b+b)%b; // 要求大于0的第一个解 29 System.out.println(x0); 30 } 31 32 // 私有的静态的内部类 33 private static class ExtGcd{ 34 static long x,y; 35 36 public static long ext_gcd(long a,long b){ 37 if (b==0) { 38 x = 1; 39 y = 0; 40 return a; 41 } 42 long res = ext_gcd(b, a%b); 43 long x1 = x; 44 x = y; 45 y = x1-a/b*y; 46 return res; 47 } 48 49 public static long linearEquation(long a,long b,long m) throws Exception{ 50 long d = ext_gcd(a, b); 51 if(m%d!=0) throw new Exception("无解"); 52 long n = m / d; 53 x *= n; 54 y *= n; 55 return d; 56 } 57 } 58 } 结果：
