CRF可以应用于对一串序列进行自动标注的问题。例如对文字序列进行词性标，即要自动判断句子中每个单词的词性。在这样的问题中，每一个词的标注结果，不仅依赖于该词语本身，还会依赖于其他词语的标注结果。CRF可以考虑到这样的依赖关系。
本文会以一个词性标注的应用为例，介绍CRF所解决的问题以及CRF模型的建立，学习与预测过程。
任务描述
词性标注（part-of-speech tagging），其目标就是对一个句子即一串单词的序列进行打标签（tagging），标注每个词的词性（ADJECTIVE, NOUN, PREPOSITION, VERB, ADVERB, ARTICLE）。我们假设在词性标准任务中，每个单词的词性不仅依赖其本身，而且也会依赖其前一个单词（这里做了简化，实际上每个单词的标注结果依赖更多东西）。
下面，我将针对对这个问题，建立一个简单的线性链条件随机场（linear-chain CRF）。并介绍这个CRF是如何表示上述的依赖关系，以及如何利用这个CRF来求解这个问题。
实际上，和其他的统计机器学习模型一样，我们有三个任务要完成：
1）指定模型参数（建立模型）
2）估计这些参数（学习）
3）利用这些参数进行预测（预测）
第一个任务——建立模型
特征函数
为了评价序列中每个单词属于各个tag的可能性，我们要根据单词的位置定义一系列特征函数（feature function），在线性链CRF模型中，特征函数表示如下：
其中$s$表示序列，$i$表示该词在序列中的位置，$l_{i}$表示对该单词标注的词性。
每个特征函数表示的是当位置为$i$时，当前位置单词标注为$l_i$且它前一个单词标注为$l_{i-1}$时的”可能性”，不过这个”可能性”并不是一个概率，它通常为0或1。
例如，可以定义如下特征函数：
$f_1(x,l_{i-1},l_{i},i)=cases{1,qquad l_i=ADVERB & 第i个单词以“-ly”结尾\ 0,qquad otherwise}$
$f_2(x,l_{i-1},l_{i},i)=cases{1,qquad i=1 & l_i=VERB & 句子以问号结束\ 0,qquad otherwise}$
$f_3(x,l_{i-1},l_{i},i)=cases{1,qquad l_{i-1}=ADJECTIVE & l_i=NOUN\ 0,qquad otherwise}$
$f_4(x,l_{i-1},l_{i},i)=cases{1,qquad l_{i-1}=PREPERSITION & l_i=PREPERSITION\ 0,qquad otherwise}$
…
可以看到每一个特征函数的值只与当前位置和前一个位置有关，因此，可以说它有能力表示出我们之前所说的依赖关系。
模型
有了特征函数，我们就可以开始建立模型了。
所谓的建模，其实就是要表示出当给定句子，也就是单词序列$x={x_1x_2…x_N}$时，整个句子标注为$l=(l_1l_2…l_N)$的概率，即条件概率：
也就是当$X$给定的情况下，$l_1,l_2,…,l_N$的联合概率
权重
每个特征函数对整体的影响应该是不同的，因此，需要为每个函数加上权重$W=(w_1,w_2,…,w_M)$，权重越大，则该特征函数对标注结果的影响越大。那么每个特征函数的权重应该取多少呢？实际上这些权重$W$就是我们所说的参数了，而这些参数如何取值就是我们的第二个任务——参数学习，这个会在下一节讲。
非归一化概率
每个特征函数表示的是每个位置的可能性，那么整个句子被标注为$l=(1_1l_2…l_N)$的可能性当然就是各个位置的可能性的乘积。
不过为了方便计算，我们使用指数形式来表示特征：$exp(w_kf_k(s,l_{i-1},l_i,i))$。这样，我们的乘法就变成了加法：
参数模型
此时，我们的模型已经呼之欲出了，
现在所表示的”可能性”还不是一个概率，应该要做归一化处理，使它的值在0到1之间，因此引入归一化项$Z(x)$：
这样，我们所需要的条件概率就得到了：
其中$l$与$x$都是向量，$l=l_1l_2…l_N,x=x_1x_2…x_N$
小结
这就是我们的线性链CRF参数模型，它有能力表示这样的依赖关系：每个位置的标注结果不仅依赖于该位置的单词本身，同时还依赖前一个位置的标注结果。
同时我们还指定了模型的参数为每个特征函数的权重$W=(w_1,w_2,…,w_M)$。
第二个任务——学习
目标
学习的目标其实就是找到一组参数$w=(w_1,w_2,…,w_M)$，在训练数据序列$x=(x_1,x_2,…,x_N)$和标注$l=(l_1,l_2,…,l_N)$上，使条件概率$P(L=l|X=x)$最大化，即找到$w^*$,使：
学习的方法有很多，例如梯度下降，最大似然估计等，这里就不多说了。
这样学习的任务看似就完成了，不过等等！问题好像并不是这么简单。
计算问题
我们再看看$Z(x)$：
看到最左边的求和：$sum_{L=l’}$，这里其实写得简单了，$L$是一个向量，所以其完整形式应该是：
即在每个位置上都有$m$种可能的标注结果，那么长度为$N$的句子，就有$m^N$种情况，即使每个单词只分两种词性，长度为15个单词的序列，其计算量都有$2^{15}$，因此想要直接计算$Z(x)$是很难的。
前向-后向算法
我们所研究的对象，通常都是很长的序列，根据上面所说，对于这种高维数据，想要直接计算$Z(x)$是很难的，因此，在线性链CRF中，为了得到$Z(x)$需要前向-后向算法。
对于前向-后向算法，在这里先不做过多说明，在之后的文章中会详细介绍。
小结
这样，我们第二个任务也搞定了。
参数的学习就是根据训练数据找到能使条件概率最大化的参数；
但是由于数据维度高，计算量很大，因此会使用前向-后向算法来计算线性链条件随机场的归一化项$Z(x)$。
第三个任务——预测
现在我们已经有了模型，并且在已知的数据集上得到了该模型最优的参数，接下来就是根据这个模型及参数对未知的数据进行推测了。具体到我们的词性标注问题，就是给定一个已知句子$x$，但是其标注未知，通过模型推测每个单词可能性最大的词性，即找到最优的一组$l^*$，使：
计算问题
这回我们谨慎一点，先看看计算有没有问题。
把公式展开：
我们只是要找到能使$P(L=l|X=x)$概率最大的一个$l$，而对于每一个$l$，$Z(x)$都是一样的，因此原问题变成：
太好了，$Z(x)$不用计算了。
不过为了找到最优的$l^*$，总不可能真的把每一个$l$都试一遍吧，这样计算量仍然很大。
那么维特比算法就是为了解决上述问题的，它利用了动态规划的思想，不过具体算法我们也先暂时不说，会在后面的文章里详细说明。
小结
这样，我们知道了如何利用建立好的模型以及学习好的参数，对词性未知的句子进行标注了。同时，为了得到这个最优的标注，需要使用维特比算法
总结
至此，我们通过一个词性标注的例子，了解了：
- CRF适用于这样的情况：对于多个位置的标注，每一个位置的标注结果，不仅与其本身有关，而且依赖于其他位置的标注结果。
- CRF与其他统计机器学习模型一样，可以分为三个部分，分别是：
- 模型的建立
- 参数的学习
- 推测
- 对于模型的建立，我们使用了特征函数，它保证了模型拥有表示我们所需的依赖关系的能力。
- 对于模型参数的学习以及结果的预测，发现高维数据带来很大的计算量，因此需要一些算法来简化计算。
但是，还有一些问题需要探索：
- CRF是一种概率图模型，那么什么是概率图模型？从概率图的角度我们怎么看条件随机场？其他的概率图模型又能解决什么样的问题？
- 我们在这里说的都是线性链条件随机场(Linear Chain CRF)，那么其他形式的CRF是怎样的，它们能解决什么问题？
- 在线性链CRF中，为了解决计算问题，在学习和预测中所用到的前向-后向算法以及维特比算法分别是什么？
- 我们现在看到的是CRF在NLP方面的应用，那么在图像处理中，如何利用CRF提高预测效果？
参考资料
[1] introduction to conditional random fields
[2] 如何直观地理解条件随机场，并通过PyTorch简单地实现
[4] 李航. 统计学习方法[J]. 清华大学出版社, 北京, 2012.