一、什么是模拟退火算法
1、爬山算法
在了解模拟退火算法之前，先来看一下爬山算法：爬山算法是一种贪心算法，该算法每次从当前的解空间中选取一个解作为最优解，直到达到一个局部最优解。假设函数f(x)的图像如下图：
现在使用爬山算法来求f(x)的最大值，若C为当前最优解，则爬山算法搜索到A就会停止搜索，这会获得一个局部最优解，而不是全局最优解。
模拟退火：继续考虑寻找f(x)最大值的问题，爬山算法搜索到A点时就会停止搜索，原因是A点左右的值均小于A点的值。模拟退火算法采用的解决办法是以一定的概率选择A两边的点，尽管A两边的点并不是局部最优解，这样就有一定的概率搜索到D点，从而搜索到B点，最终获得了全局最优解。
2、模拟退火算法
现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。
模拟退火其实也是一种Greedy算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以上图为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解B后，会以一定的概率接受向右继续移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达B 和C之间的峰点，于是就跳出了局部最小值B。
模拟退火算法（Simulate Anneal，SA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解
爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。
使用模拟退火算法解决旅行商问题
旅行商问题(TravelingSalesmanProblem，TSP)是一个经典的组合优化问题。经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。该问题可以使用模拟退火算法解决，C++代码如下：
使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决TSP的思路：
1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )
2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温
3. 重复步骤1，2直到满足退出条件
产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：
1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。
2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。
3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
#define N 30 //城市数量
#define T 3000 //初始温度
#define EPS 1e-8 //终止温度
#define DELTA 0.98 //温度衰减率
#define LIMIT 1000 //概率选择上限
#define OLOOP 20 //外循环次数
#define ILOOP 100 //内循环次数
using namespace std;
//定义路线结构体
struct Path
{
int citys[N];
double len;
};
//定义城市点坐标
struct Point
{
double x, y;
};
Path bestPath; //记录最优路径
Point p[N]; //每个城市的坐标
double w[N][N]; //两两城市之间路径长度
int nCase; //测试次数
double dist(Point A, Point B)
{
return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}
void GetDist(Point p[], int n)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = i + 1; j < n; j++)
w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);
}
void Input(Point p[], int &n)
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}
void Init(int n)
{
nCase = 0;
bestPath.len = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
bestPath.citys[i] = i;
if(i != n - 1)
{
printf("%d--->", i);
bestPath.len += w[i][i + 1];
}
else
printf("%d\n", i);
}
printf("\nInit path length is : %.3lf\n", bestPath.len);
printf("-----------------------------------\n\n");
}
void Print(Path t, int n)
{
printf("Path is : ");
for(int i = 0; i < n; i++)
{
if(i != n - 1)
printf("%d-->", t.citys[i]);
else
printf("%d\n", t.citys[i]);
}
printf("\nThe path length is : %.3lf\n", t.len);
printf("-----------------------------------\n\n");
}
Path GetNext(Path p, int n)
{
Path ans = p;
int x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
int y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
while(x == y)
{
x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
}
swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
ans.len = 0;
for(int i = 0; i < n - 1; i++)
ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + 1]];
cout << "nCase = " << nCase << endl;
Print(ans, n);
nCase++;
return ans;
}
void SA(int n)
{
double t = T;
srand((unsigned)(time(NULL)));
Path curPath = bestPath;
Path newPath = bestPath;
int P_L = 0;
int P_F = 0;
while(1) //外循环，主要更新参数t，模拟退火过程
{
for(int i = 0; i < ILOOP; i++) //内循环，寻找在一定温度下的最优值
{
newPath = GetNext(curPath, n);
double dE = newPath.len - curPath.len;
if(dE < 0) //如果找到更优值，直接更新
{
curPath = newPath;
P_L = 0;
P_F = 0;
}
else
{
double rd = rand() / (RAND_MAX + 1.0);
//如果找到比当前更差的解，以一定概率接受该解，并且这个概率会越来越小
if(exp(dE / t) > rd && exp(dE / t) < 1)
curPath = newPath;
P_L++;
}
if(P_L > LIMIT)
{
P_F++;
break;
}
}
if(curPath.len < bestPath.len)
bestPath = curPath;
if(P_F > OLOOP || t < EPS)
break;
t *= DELTA;
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
freopen("TSP.data", "r", stdin);
int n;
Input(p, n);
GetDist(p, n);
Init(n);
SA(n);
Print(bestPath, n);
printf("Total test times is : %d\n", nCase);
return 0;
}