KMP算法
对于串s[1..n]，我们定义fail[i]表示以串s[1..i]的最长公共真前后缀。
我们首先考虑对于模式串p，如何计算出它的fail数组。定义fail[0]=-1。
- 根据“真前后缀”的条件，容易得到fail[1]=0
- 对于任意的i>1，显然在s[fail[i-1]+1]==s[i]的时候，我们有fail[i]=fail[i-1]
- 如果s[fail[i-1]+1]!=s[i]，那么我们需要去尝试s[fail[fail[i-1]]+1]是否与s[i]相等，否则再继续下去。
这是因为我们最终要找的是s[1..i]的最长公共前后缀，如果它不是由s[1..i-1]的最长公共前后缀扩增而来，那么它一定是由s[1..fail[i-1]]的最长公共前后缀扩增而来。毕竟，最长公共前后缀包含了若干个公共前后缀。即s[1..fail[i-1]]的最长公共前后缀也是s[1..i-1]的一个公共前后缀，虽然它未必最长。
// Build fail array for pattern string
for(int i=2;i<=m;i++) {
fail[i]=fail[i-1];
while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];
} fail[0]=-1;
预处理完毕后，匹配过程与其大同小异。
我们需要定义两个指针i,j，指向当前希望要匹配的两个字符。
如果s[i]!=p[j]，则需要将模式串向右滑移，即j=fail[j-1]+1。当然如果j=0了，则重设j=1，并将模式串起点向右移动一位。
如果s[i]==p[j]，当模式串没有匹配完全即j<m时，将两个指针同时向右移动即可。如果匹配完了，则报告一个结果，并将模式串按j=fail[j-1]+1进行滑移，以便于进行下一次匹配。
for(int i=1,j=1;i<=n;) {
if(s[i]==p[j]) {
if(j<m) ++i,++j;
else {
cout<<i-m+1<<endl;
j=fail[j-1]+1;
}
}
else {
j=fail[j-1]+1;
if(j<=0) j=1,i++;
}
}
算法总体复杂度O(n+m)。
完整模板：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1000005],p[1000005];
int n,m,fail[1000005];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>s+1>>p+1;
n=strlen(s+1); m=strlen(p+1);
// Build fail array for pattern string
for(int i=2;i<=m;i++) {
fail[i]=fail[i-1];
while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];
}
fail[0]=-1;
for(int i=1,j=1;i<=n;) {
if(s[i]==p[j]) {
if(j<m) ++i,++j;
else {
cout<<i-m+1<<endl;
j=fail[j-1]+1;
}
}
else {
j=fail[j-1]+1;
if(j<=0) j=1,i++;
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) cout<<(fail[i]<0?0:fail[i])<<" ";
cout<<endl;
}
#10046. 「一本通 2.2 练习 2」OKR-Periods of Words
容易发现这里我们要的其实是每个前缀减去最短的Border。类似并查集一样路径压缩一下即可。需要注意一些细节防止死循环。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1000005], p[1000005];
int n, m, fail[1000005];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> m;
cin >> p + 1;
// Build fail array for pattern string
long long ans = 0;
fail[1] = 0;
for (int i = 2; i <= m; i++) {
fail[i] = fail[i - 1];
while (p[fail[i] + 1] - p[i] && fail[i]) fail[i] = fail[fail[i]];
if (p[fail[i] + 1] == p[i])
++fail[i];
}
fail[0] = -1;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int j = i;
while (fail[j] > 0) j = fail[j];
ans += i - j;
if (fail[i])
fail[i] = j;
}
cout << ans << endl;
}
#10047. 「一本通 2.2 练习 3」似乎在梦中见过的样子
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[100005],p[100005];
int n,m,k,fail[100005],f[100005];
long long ans = 0;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>p+1>>k;
m=strlen(p+1);
while(m) {
for(int i=2;i<=m;i++) {
fail[i]=fail[i-1];
while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];
if(f[fail[i]]) f[i]=f[fail[i]];
else if(fail[i]>=k) f[i]=fail[i];
else f[i]=0;
if(f[i] && (f[i]*2)<i) ++ans;
}
--m;
for(int i=1;i<=m;i++) p[i]=p[i+1];
memset(fail,0,sizeof fail);
memset(f,0,sizeof f);
}
cout<<ans<<endl;
}
#10048. 「一本通 2.2 练习 4」Censoring
搞个栈记录输出，顺便存下每个被输出点匹配到模式串的哪个位置
这样如果匹配就弹掉栈顶几个，并读取新栈顶原先匹配到了哪个位置，接下去匹配即可
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1000005],p[1000005];
int n,m,fail[1000005],sta[1000005],staj[1000005],top;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>s+1>>p+1;
n=strlen(s+1); m=strlen(p+1);
for(int i=2;i<=m;i++) {
fail[i]=fail[i-1];
while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]];
if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i];
}
fail[0]=-1;
for(int i=1,j=1;i<=n;) {
if(s[i]==p[j]) {
if(j<m) ++top,sta[top]=i,staj[top]=j,++i,++j;
else top-=m-1,j=staj[top]+1,++i;
}
else {
j=fail[j-1]+1;
if(j<=0) ++top,sta[top]=i,staj[top]=j,i++;
}
}
for(int i=1;i<=top;i++) cout<<s[sta[i]];
cout<<endl;
}
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
char s[100005],p[100005];int n,m,k,fail[100005],f[100005];long long ans = 0;
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin>>p+1>>k;m=strlen(p+1);while(m) { for(int i=2;i<=m;i++) { fail[i]=fail[i-1]; while(p[fail[i]+1]-p[i] && fail[i]) fail[i]=fail[fail[i]]; if(p[fail[i]+1]==p[i]) ++fail[i]; if(f[fail[i]]) f[i]=f[fail[i]]; else if(fail[i]>=k) f[i]=fail[i]; else f[i]=0; if(f[i] && (f[i]*2)<i) ++ans; } --m; for(int i=1;i<=m;i++) p[i]=p[i+1]; memset(fail,0,sizeof fail); memset(f,0,sizeof f);}cout<<ans<<endl;}