用优先队列式分支限界法解决0-1背包问题

用优先队列式分支限界法解决0-1背包问题的算法思想：
1.分支限界法常以广度优先或最小耗费优先（最大效益优先）方式搜索问题的解空间树，对于0-1背包问题的解空间树是一个颗子集树。
2.在分支限界法中有一个活结点表，活结点表中的每个活结点只有一次机会成为扩展结点，一旦成为扩展结点就一次性产生所有儿子结点，在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入到活结点表中。对于0-1背包问题中的每个活结点只有两个儿子结点，分别表示对物品i的选取和对物品i的舍去；在判断儿子结点是否能加入到活结点表中，有两个函数需要满足，第一个称为约束函数，判断能否满足背包容量约束，第二个称为限界函数，判断是否可能有最优解。
3.为了尽快找到0-1背包问题的解，每次选取下一个活结点成为扩展结点的判断依据是当前情况下最有可能找到最优解的下一个结点。因此，每次选择扩展结点的方法：当前情况下，在活结点表中选择活结点的上界uprofit（通过限界函数Bound求出）最大的活结点成为当前的扩展结点。这一过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。这个过程体现出分支限界法以“最大效益优先”方式进行。
4.为了在活结点表中选择拥有最大的上界uprofit的活结点，在活结点表上实现优先队列。
5.通过上述第3点，可以求出0-1背包问题的最优值。为了求出0-1背包问题的最优解，对于每一个在活结点表中的活结点创建一个树结点，树节点需要反映该结点的父节点和是否有左孩子（有左孩子表示物品i选取了，没有左孩子表示物品i舍去了）。因此，可以构造一颗子集树，最优解就是从树根到叶子结点的路径，子集树的第i层的所有结点就是在不同情况下对物品i的取舍结点。构造最优解的顺序是从叶子结点到根结点的过程。

从上述算法思想中，得出必须解决的问题：
1.优先队列式的活结点表
2.活结点表对应的子集树

算法涉及的函数功能：
1.建立一个最大堆、初始化最大堆、在最大堆中插入一个元素和在最大堆中取出最大元素
2.求解0-1背包问题的主函数Knapsack
3.向子集树和最大堆中插入结点函数AddLiveNode
4.计算结点价值上界函数Bound，为了方便，需要对物品以单位价值量排序
5.负责求解0-1背包问题的最优值和最优解函数MaxKnapsack

算法涉及的类：
1.树结点类，用于构造子集树，以便计算最优解
2.堆结点类，用于定义堆元素类型，便于MaxKnapsack函数使用
3.最大堆类，用于实现优先队列
4.物品类，用于保存物品编号和物品的单位重量价值
5.解决0-1背包问题的主类

以下是具体的代码：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;   

typedef int Typew;
typedef int Typep;

//物品类
class Object{
	friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *);
public:
	int operator <= (Object a) const{
		return (d >= a.d);
	}
private:
	int ID; //物品编号
	float d; //单位重量价值
};

//树结点类
class bbnode{
	friend class Knap;
	friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *);
private:
	bbnode *parent; //指向父节点的指针
	int LChild; //如果是左儿子结点取1，也即说明该物品已装进背包
};

//堆结点类
class HeapNode{
	friend class Knap;
	friend class MaxHeap;
public:
	operator Typep()const{return uprofit;};
private:
	Typep uprofit, //结点的价值上界
		  profit; //结点所相应的价值
	Typew weight; //结点所相应的重量
	int level; //活结点在子集树中所处的层序号
	bbnode *elemPtr; //指向该活结点在子集树中相应结点的指针
};

//最大堆类
class MaxHeap{
public:
	MaxHeap(int maxElem)
	{
		HeapElem = new HeapNode* [maxElem+1]; //下标为0的保留
		capacity = maxElem;
		size = 0;
	}
	void InsertMax(HeapNode *newNode);
	HeapNode DeleteMax(HeapNode* &N);

private:
	int capacity;     
    int size;     
    HeapNode **HeapElem; 

};

//0-1背包问题的主类
class Knap{
	//Knapsack主函数功能：解决初始化、求解最优值和最优解、回收内存
	friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *);
public:
	Typep MaxKnapsack();
private:
	MaxHeap *H;
	//Bound辅助Maxknapsack函数：计算结点价值上界
	Typep Bound(int i);
	//AddLiveNode辅助Maxknapsack函数：将活结点插入子集树和优先队列中
	void AddLiveNode(Typep up, Typep cp, Typew cw, int ch, int level);
	bbnode *E; //指向扩展结点的指针
	Typew c; //背包容量
	int n; //物品总数
	Typew *w; //物品重量数组（以单位重量价值降序）
	Typep *p; //物品价值数组（以单位重量价值降序）
	Typew cw; //当前装包重量
	Typep cp; //当前装包价值
	int *bestx; //最优解	
};

void MaxHeap::InsertMax(HeapNode *newNode)
{
	//极端情况下暂未考虑,比如堆容量已满等等
	int i = 1;
		for (i = ++size; i/2 > 0 && HeapElem[i/2]->uprofit < newNode->uprofit; i /= 2)
		{
			HeapElem[i] = HeapElem[i/2];
		}
		HeapElem[i] = newNode;
}

HeapNode MaxHeap::DeleteMax(HeapNode *&N)
{
	//极端情况下暂未考虑
		if(size >0 )
		{
			N = HeapElem[1];
			//从堆顶开始调整
			int i = 1;
			while(i < size)
			{
				if(((i*2 +1) <= size) && HeapElem[i*2]->uprofit > HeapElem[i*2 +1]->uprofit)
				{
					HeapElem[i] = HeapElem[i*2];
					i = i*2;
				}
				else
				{ 
					if(i*2 <= size)
					{
							HeapElem[i] = HeapElem[i*2];
							i = i*2;
					}
					else
						break;
				}				
			}
			if(i < size) 
				HeapElem[i] = HeapElem[size];
		}
		size--;
		return *N;
}

Typep Knap::MaxKnapsack()
{
	H = new MaxHeap(1000);
	bestx = new int [n+1];
	//初始化,为处理子集树中的第一层做准备,物品i处于子集树中的第i层
	int i = 1; //生成子集树中的第一层的结点
	E = 0; //将首个扩展点设置为null，也就是物品1的父节点
	cw = 0;
	cp = 0;
	Typep bestp = 0; //当前最优值 
	Typep up = Bound(1); // 选取物品1之后的价值上界
	//当选择左儿子结点时，上界约束up不用关心，重量约束wt需要考虑。因为上界约束跟父节点相同。
	//当选择右儿子结点时，上界约束up需要考虑，重量约束不需要考虑。因为父节点和该结点重量相同。
	while (i != n+1)
	{
		//检查当前扩展结点的左儿子结点
		Typew wt = cw + w[i]; //当前选择物品i之后的总重量wt
		if(wt <= c) //背包能将物品i装下，也即当前扩展结点的左儿子结点可行
		{
			if(cp + p[i] > bestp)
				bestp = cp + p[i];
			AddLiveNode(up, cp + p[i], cw + w[i], 1, i);
		}
		//检查当前扩展结点的右儿子结点
		up = Bound(i + 1); //未选择物品i之后的价值上界
		if(up >= bestp)
			AddLiveNode(up, cp, cw, 0, i);
		//从优先队列中选择价值上界最大的结点成为扩展结点
		HeapNode* N;
		H->DeleteMax(N);
		E = N->elemPtr;
		cw = N->weight;
		cp = N->profit;
		up = N->uprofit;
		i = N->level + 1; //准备生成N.level+1层的子集树结点
	}
	//从子集树中的某叶子结点开始构造当前最优解
	for (int i = n; i > 0; i--)
	{
		bestx[i] = E->LChild;
		E = E->parent;
	}
	return cp;

}

Typep Knap::Bound(int i)
{
	Typew cleft = c - cw;
	Typep b = cp;
	while (i<=n && w[i] <= cleft)
	{
		cleft -= w[i];
		b += p[i];
		i++;
	}
	if(i<=n) b += p[i]/w[i] * cleft;
	return b;
}

void Knap::AddLiveNode(Typep up, Typep cp, Typew cw, int ch, int level)
{
	bbnode *b=new bbnode;     
    b->parent=E;     
    b->LChild=ch;     
	HeapNode *N = new HeapNode;  
    N->uprofit=up;  
    N->profit=cp;  
    N->weight=cw;     
    N->level=level;  
	N->elemPtr=b;     
	H->InsertMax(N);  
}

//Knapsack返回最大价值，最优值保存在bestx
Typep Knapsack(Typew *w, Typep *p, Typew c, int n, int *bestx)
{//数组w、p和bestx中下标为0的元素保留不用
	//初始化
	Typew W = 0;
	Typep P = 0;
	Object *Q = new Object[n];
	for(int i =1; i<=n; i++)
	{
		Q[i-1].ID = i;
		Q[i-1].d = 1.0*p[i]/w[i];
		P += p[i];
		W += w[i];
	}
	//所有物品的总重量小于等于背包容量c
	if (W <= c) 
	{
		for(int i =1; i<=n; i++)
		{
			bestx[i] = p[i];
		}
		return P;
	}
	//所有物品的总重量大于背包容量c,存在最佳装包方案
	//sort(Q,n);对物品以单位重量价值降序排序
	//采用简单冒泡排序
	for(int i = 1; i<n; i++)
		for(int j = 1; j<= n-i; j++)
		{
			if(Q[j-1].d < Q[j].d)
			{
				Object temp = Q[j-1];
				Q[j-1] = Q[j];
				Q[j] = temp;
			}
		}

	Knap K;
	K.p = new Typep [n+1];
	K.w = new Typew [n+1];
	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		K.p[i] = p[Q[i-1].ID];//（以单位重量价值降序排序）
		K.w[i] = w[Q[i-1].ID];//（以单位重量价值降序排序）
	}
	K.cp = 0;
	K.cw = 0;
	K.c = c;
	K.n = n;
	Typep bestp = K.MaxKnapsack();
	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		bestx[Q[i-1].ID] = K.bestx[i];
	}
	delete [] Q;
	delete [] K.w;
	delete [] K.p;
	delete [] K.bestx;
	delete [] K.H;
	return bestp;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	const int N = 4;     
        Typew c=8; //背包容量  
	int bestx[N+1]; //最优解
	int bestp; //最优值
	//需要说明的是，这里的数组p[]和w[]的第一个元素是-1，这是因为我在操作过程中
	//都是从数组元素的1开始的，而我们知道数组中第一个元素是0号元素，所以我这里用-1填上    
	Typep p[]={-1,6,4,7,4};//物品价值     
	Typew w[]={-1,2,3,5,2};//物品重量 	
	bestp = Knapsack(w, p, c, N, bestx);
	cout<<"物品总数N = "<< N<<",背包容量C = "<< c<<endl;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if(i ==1 ) cout<<"重量数组：";
		cout<<w[i];
		if(i != N) cout<<",";
		else
			cout<<endl;
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if(i ==1 ) cout<<"价值数组：";
		cout<<p[i];
		if(i != N) cout<<",";
		else
			cout<<endl;
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if(i ==1 ) cout<<"是否选取：";
		cout<<bestx[i];
		if(i != N) cout<<",";
		else
			cout<<endl;
	}
	cout<<"背包最优价值："<<bestp<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果如下图：

来源：CSDN

作者：峰中劲草

链接：https://blog.csdn.net/qq_24059821/article/details/51253704

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分支限界法

叶子结点