什么是凸函数及如何判断一个函数是否是凸函数
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一、什么是凸函数
对于一元函数f(xf(x),如果对于任意tϵ[0,1]tϵ[0,1]均满足:f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2),则称f(x)f(x)为凸函数(convex function)
如果对于任意tϵ(0,1)tϵ(0,1)均满足:f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2),则称f(x)f(x)为严格凸函数(convex function)
我们可以从几何上直观地理解凸函数的特点,凸函数的割线在函数曲线的上方,如图1所示:
上面的公式,完全可以推广到多元函数。在数据科学的模型求解中,如果优化的目标函数是凸函数,则局部极小值就是全局最小值。这也意味着我们求得的模型是全局最优的,不会陷入到局部最优值。例如支持向量机的目标函数||w||2/2||w||2/2就是一个凸函数。
二、如何来判断一个函数是否是凸函数呢?
对于一元函数f(x)f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0f″(x)≥0 ,则f(x)f(x)是凸函数
对于多元函数f(X)f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵,则是f(X)f(X)凸函数
三、Jensen不等式
对于凸函数,我们可以推广出一个重要的不等式,即Jensen不等式。如果 f 是凸函数,X是随机变量,那么f(E(X))≤E(f(X))f(E(X))≤E(f(X)),上式就是Jensen不等式的一般形式
我们还可以看它的另一种描述。假设有 n 个样本{x1,x2,...,xn}{x1,x2,...,xn}和对应的权重{α1,α2,...,αn}{α1,α2,...,αn},权重满足ai⩾0,∑αi=1ai⩾0,∑αi=1,对于凸函数 f,以下不等式成立:
f(∑ni=1αixi)≤∑ni=1αif(xi)