1. 哈夫曼树的介绍
Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。
定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。
1.1 路径和路径长度
定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。
1.2 结点的权及带权路径长度
定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 权 = 3 20 = 60。
1.3 树的带权路径长度
定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
例子：示例中，树的WPL= 1100 + 280 + 320 + 310 = 100 + 160 + 60 + 30 = 350。
比较下面两棵树
上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。
左边的树WPL=210 + 220 + 250 + 2100 = 360
右边的树WPL=350
左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。
2. 哈夫曼树的图文解析
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：
1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。
以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。
第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将”树5”和”树6”从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。
第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将”树7”和”树8”从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。
第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将”树11”和”树15”从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。
第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将”树15”和”树26”从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。
此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！
3. 哈夫曼树的基本操作
哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时，用到了以前介绍过的”(二叉堆)最小堆”。下面对哈夫曼树进行讲解。
基本定义
12345678910111213141516171819202122232425262728293031 | public class implements Comparable, Cloneable { protected int key; protected HuffmanNode left; // 左孩子 protected HuffmanNode right; // 右孩子 protected HuffmanNode parent; // 父结点 protected (int key, HuffmanNode left, HuffmanNode right, HuffmanNode parent) { this.key = key; this.left = left; this.right = right; this.parent = parent; } public Object clone() { Object obj=null; try { obj = (HuffmanNode)super.clone();//Object 中的clone()识别出你要复制的是哪一个对象。 } catch(CloneNotSupportedException e) { System.out.println(e.toString()); } return obj; } public int compareTo(Object obj) { return this.key - ((HuffmanNode)obj).key; }} |
HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。
123456 | public class Huffman { private HuffmanNode mRoot; // 根结点 ...} |
Huffman是哈夫曼树对应的类，它包含了哈夫曼树的根节点和哈夫曼树的相关操作。
4. 构造哈夫曼树
12345678910111213141516171819202122232425262728293031 | /* * 创建Huffman树 * * @param 权值数组 */public Huffman(int a[]) { HuffmanNode parent = null; MinHeap heap; // 建立数组a对应的最小堆 heap = new MinHeap(a); for(int i=0; i<a.length-1; i++) { HuffmanNode left = heap.dumpFromMinimum(); // 最小节点是左孩子 HuffmanNode right = heap.dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子 // 新建parent节点，左右孩子分别是left/right； // parent的大小是左右孩子之和 parent = new HuffmanNode(left.key+right.key, left, right, null); left.parent = parent; right.parent = parent; // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中 heap.insert(parent); } mRoot = parent; // 销毁最小堆 heap.destroy();} |
首先创建最小堆，然后进入for循环。每次循环时：
- 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置，接着将”交换位置后的最小节点”之前的全部元素重新构造成最小堆)；
- 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆；
- 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点；
- 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。
在二叉堆中已经介绍过堆，这里就不再对堆的代码进行说明了。若有疑问，直接参考后文的源码。其它的相关代码，也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
5. 哈夫曼树的完整源码
哈夫曼树的节点类(HuffmanNode.java)
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738 | /** * Huffman节点类(Huffman.java的辅助类) * * @author skywang * @date 2014/03/27 */public class implements Comparable, Cloneable { protected int key; protected HuffmanNode left; // 左孩子 protected HuffmanNode right; // 右孩子 protected HuffmanNode parent; // 父结点 protected (int key, HuffmanNode left, HuffmanNode right, HuffmanNode parent) { this.key = key; this.left = left; this.right = right; this.parent = parent; } public Object clone() { Object obj=null; try { obj = (HuffmanNode)super.clone();//Object 中的clone()识别出你要复制的是哪一个对象。 } catch(CloneNotSupportedException e) { System.out.println(e.toString()); } return obj; } public int compareTo(Object obj) { return this.key - ((HuffmanNode)obj).key; }} |
哈夫曼树的实现文件(Huffman.java)
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141 | /** * Huffman树 * * @author skywang * @date 2014/03/27 */import java.util.List;import java.util.ArrayList;import java.util.Collections;public class Huffman { private HuffmanNode mRoot; // 根结点 /* * 创建Huffman树 * * @param 权值数组 */ public Huffman(int a[]) { HuffmanNode parent = null; MinHeap heap; // 建立数组a对应的最小堆 heap = new MinHeap(a); for(int i=0; i<a.length-1; i++) { HuffmanNode left = heap.dumpFromMinimum(); // 最小节点是左孩子 HuffmanNode right = heap.dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子 // 新建parent节点，左右孩子分别是left/right； // parent的大小是左右孩子之和 parent = new HuffmanNode(left.key+right.key, left, right, null); left.parent = parent; right.parent = parent; // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中 heap.insert(parent); } mRoot = parent; // 销毁最小堆 heap.destroy(); } /* * 前序遍历"Huffman树" */ private void preOrder(HuffmanNode tree) { if(tree != null) { System.out.print(tree.key+" "); preOrder(tree.left); preOrder(tree.right); } } public void preOrder() { preOrder(mRoot); } /* * 中序遍历"Huffman树" */ private void inOrder(HuffmanNode tree) { if(tree != null) { inOrder(tree.left); System.out.print(tree.key+" "); inOrder(tree.right); } } public void inOrder() { inOrder(mRoot); } /* * 后序遍历"Huffman树" */ private void postOrder(HuffmanNode tree) { if(tree != null) { postOrder(tree.left); postOrder(tree.right); System.out.print(tree.key+" "); } } public void postOrder() { postOrder(mRoot); } /* * 销毁Huffman树 */ private void destroy(HuffmanNode tree) { if (tree==null) return ; if (tree.left != null) destroy(tree.left); if (tree.right != null) destroy(tree.right); tree=null; } public void destroy() { destroy(mRoot); mRoot = null; } /* * 打印"Huffman树" * * key -- 节点的键值 * direction -- 0，表示该节点是根节点; * -1，表示该节点是它的父结点的左孩子; * 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。 */ private void print(HuffmanNode tree, int key, int direction) { if(tree != null) { if(direction==0) // tree是根节点 System.out.printf("%2d is rootn", tree.key); else // tree是分支节点 System.out.printf("%2d is %2d's %6s childn", tree.key, key, direction==1?"right" : "left"); print(tree.left, tree.key, -1); print(tree.right,tree.key, 1); } } public void print() { if (mRoot != null) print(mRoot, mRoot.key, 0); }} |
哈夫曼树对应的最小堆(MinHeap.java)
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143 | /** * 最小堆(Huffman.java的辅助类) * * @author skywang * @date 2014/03/27 */import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class MinHeap { private List<HuffmanNode> mHeap; // 存放堆的数组 /* * 创建最小堆 * * 参数说明： * a -- 数据所在的数组 */ protected MinHeap(int a[]) { mHeap = new ArrayList<HuffmanNode>(); // 初始化数组 for(int i=0; i<a.length; i++) { HuffmanNode node = new HuffmanNode(a[i], null, null, null); mHeap.add(node); } // 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。 for (int i = a.length / 2 - 1; i >= 0; i--) filterdown(i, a.length-1); } /* * 最小堆的向下调整算法 * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) */ protected void filterdown(int start, int end) { int c = start; // 当前(current)节点的位置 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 HuffmanNode tmp = mHeap.get(c); // 当前(current)节点 while(l <= end) { // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 if(l < end && (mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1))>0)) l++; // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1] int cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l)); if(cmp <= 0) break; //调整结束 else { mHeap.set(c, mHeap.get(l)); c = l; l = 2*l + 1; } } mHeap.set(c, tmp); } /* * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆) * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： * start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引) */ protected void filterup(int start) { int c = start; // 当前节点(current)的位置 int p = (c-1)/2; // 父(parent)结点的位置 HuffmanNode tmp = mHeap.get(c); // 当前(current)节点 while(c > 0) { int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp); if(cmp <= 0) break; else { mHeap.set(c, mHeap.get(p)); c = p; p = (p-1)/2; } } mHeap.set(c, tmp); } /* * 将node插入到二叉堆中 */ protected void insert(HuffmanNode node) { int size = mHeap.size(); mHeap.add(node); // 将"数组"插在表尾 filterup(size); // 向上调整堆 } /* * 交换两个HuffmanNode节点的全部数据 */ private void swapNode(int i, int j) { HuffmanNode tmp = mHeap.get(i); mHeap.set(i, mHeap.get(j)); mHeap.set(j, tmp); } /* * 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。 * 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。 * * 返回值： * 失败返回null。 */ protected HuffmanNode dumpFromMinimum() { int size = mHeap.size(); // 如果"堆"已空，则返回 if(size == 0) return null; // 将"最小节点"克隆一份，将克隆得到的对象赋值给node HuffmanNode node = (HuffmanNode)mHeap.get(0).clone(); // 交换"最小节点"和"最后一个节点" mHeap.set(0, mHeap.get(size-1)); // 删除最后的元素 mHeap.remove(size-1); if (mHeap.size() > 1) filterdown(0, mHeap.size()-1); return node; } // 销毁最小堆 protected void destroy() { mHeap.clear(); mHeap = null; }} |
哈夫曼树的测试程序(HuffmanTest.java)
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839 | /** * Huffman树的测试程序 * * @author skywang * @date 2014/03/27 */public class HuffmanTest { private static final int a[]= {5,6,8,7,15}; public static void main(String[] args) { int i; Huffman tree; System.out.print("== 添加数组: "); for(i=0; i<a.length; i++) System.out.print(a[i]+" "); // 创建数组a对应的Huffman树 tree = new Huffman(a); System.out.print("n== 前序遍历: "); tree.preOrder(); System.out.print("n== 中序遍历: "); tree.inOrder(); System.out.print("n== 后序遍历: "); tree.postOrder(); System.out.println(); System.out.println("== 树的详细信息: "); tree.print(); // 销毁二叉树 tree.destroy(); }} |