协方差矩阵和散布矩阵的意义

【尊重原创，转载请注明出处】http://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/68922981

在机器学习模式识别中，经常需要应用到协方差矩阵C和散布矩阵S。如在PCA主成分分析中，需要计算样本的散度矩阵，有的论文是计算协方差矩阵。实质上二者意义差不多，散布矩阵（散度矩阵）前乘以系数1/(n-1)就可以得到协方差矩阵了。

在模式识别的教程中，散布矩阵也称为散度矩阵，有的也称为类内离散度矩阵或者类内离差阵，用一个等式关系可表示为：

关系：散度矩阵=类内离散度矩阵=类内离差阵=协方差矩阵×（n-1）

样本的协方差矩阵乘以n-1倍即为散布矩阵，n表示样本的个数，散布矩阵的大小由特征维数d决定，是一个为d×d 的半正定矩阵。

一、协方差矩阵的基础

对于二维随机变量（X,Y）之间的相互关系的数字特征，我们用协方差来描述，记为Cov(X,Y)：

那么二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵，为：

对于三维随机变量X=（X₁, X_{2, X}₃）的协方差矩阵可表示为：

对于n维X=（X₁, X₂....X _n）协方差矩阵：

说明：

（1）协方差矩阵是一个对称矩阵，且是半正定矩阵，主对角线是各个随机变量的方差（各个维度上的方差）。

（2）标准差和方差一般是用来描述一维数据的；对于多维情况，而协方差是用于描述任意两维数据之间的关系，一般用协方差矩阵来表示。因此协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。

（3）协方差计算过程可简述为：先求各个分量的均值E(Xi)和E(Xj)，然后每个分量减去各自的均值得到两条向量，在进行内积运算，然后求内积后的总和，最后把总和除以n-1。

例子：设有8个样本数据，每个样本有2个特征：(1,2);(3 3);(3 5);(5 4);(5 6);(6 5);(8 7);(9 8)，那么可以看作二维的随机变量（X,Y），即

X =[1 3 3 5 5 6 8 9]

Y =[2 3 5 4 6 5 7 8]

Matlab中可以使用cov(X, Y)函数计算样本的协方差矩阵，其中X,Y都是特征向量。当然若用X 表示样本的矩阵（X中每一行表示一个样本，每列是一个特征），那么可直接使用cov(X)计算了。

clear all
clc
X=[1,2;3 3;3 5;5 4;5 6;6 5;8 7;9 8]%样本矩阵：8个样本，每个样本2个特征
covX= cov(X)%使用cov函数求协方差矩阵

运行结果为：

covX =

    7.1429    4.8571
    4.8571    4.0000

当然，可以按定义计算，Matlab代码如下：

clear all
clc
X=[1,2;3 3;3 5;5 4;5 6;6 5;8 7;9 8] %样本矩阵：8个样本，每个样本2个特征
covX= cov(X)                                %使用cov函数求协方差矩阵
%% 按定义求协方差矩阵：（1）使用分量的方法，先求协方差，再组合成协方差矩阵
meanX=mean(X)        %样本均值
varX=var(X)               %样本方差
[Row Col]=size(X);
dimNum=Row;          %s样本个数size(X,1)=8
dim1=X(:,1);              %特征分量1
dim2=X(:,2);              %而在分量2
c11=sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim1-mean(dim1)) ) / ( dimNum-1 );
c21=sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim1-mean(dim1)) ) / ( dimNum-1 ); 
c12=sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( dimNum-1 ); 
c22=sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( dimNum-1 );
C22=[c11,c12;c21,c22]%协方差矩阵

%% 或者（2）直接求协方差矩阵：
tempX= repmat(meanX,Row,1);  
C22=(X-tempX)'*(X-tempX)/(dimNum-1)

运行结果：

covX =

    7.1429    4.8571
    4.8571    4.0000

meanX =

     5     5

varX =

    7.1429    4.0000

C22 =

    7.1429    4.8571
    4.8571    4.0000

C22 =

    7.1429    4.8571
    4.8571    4.0000

说明：从中可以发现，样本的协方差矩阵的对角线即为样本的方差。

二、协方差矩阵的意义

为了更好理解协方差矩阵的几何意义，下面以二维正态分布图为例（假设样本服从二维正态分布）：

clear all;clc
mu=[0,0];         % 均值向量
C=[5 0;0 1]       %样本的协方差矩阵
[V,D] =eigs(C)    %求协方差矩阵的特征值D和特征向量V
 %% 绘制二维正态分布图
[X,Y]=meshgrid(-10:0.3:10,-10:0.3:10);%在XOY面上，产生网格数据
p=mvnpdf([X(:) Y(:)],mu,C);%求取联合概率密度，相当于Z轴
p=reshape(p,size(X));%将Z值对应到相应的坐标上
figure
set(gcf,'Position',get(gcf,'Position').*[1 1 1.3 1])
subplot(2,3,[1 2 4 5])
surf(X,Y,p),axis tight,title('二维正态分布图')
subplot(2,3,3)
surf(X,Y,p),view(2),axis tight,title('在XOY面上的投影')
subplot(2,3,6)
surf(X,Y,p),view([0 0]),axis tight,title('在XOZ面上的投影');

协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：

说明：

1)均值[0,0]代表正态分布的中心点，方差代表其分布的形状。

2)协方差矩阵C的最大特征值D对应的特征向量V指向样本分布的主轴方向。例如，最大特征值D1=5对应的特征向量V1=[1 0]^T即为样本分布的主轴方向（一般认为是数据的传播方向）。次大特征值D2=1对应的特征向量V2=[0 1]^T,即为样本分布的短轴方向。

协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：

说明：

1)由于协方差矩阵C具有两个相同的特征值D1=D2=5,因此样本在V1和V2特征向量方向的分布是等程度的，故样本分布是一样圆形。

2)特征值D1和D2的比值越大，数据分布形状就越扁；当比值等于1时，此时样本数据分布为圆形。

协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：

V =
    0.7071   -0.7071
    0.7071    0.7071

D =
     6     0
     0     4

说明：

1)特征值的比值D1/D2=6/4=1.5>1，因此样本数据分布形状是扁形，数据传播方向（样本的主轴方向）为V1=[0.7071 0.7071]^T

综合上述，可知：

(1)样本均值决定样本分布中心点的位置。

(2)协方差矩阵决定样本分布的扁圆程度。

是扁还是圆，由协方差矩阵的特征值决定：当特征值D1和D2的比值为1时（D1/D2=1），则样本分布形状为圆形。当特征值的比值不为1时，样本分布为扁形；

偏向方向（数据传播方向）由特征向量决定。最大特征值对应的特征向量，总是指向数据最大方差的方向（椭圆形的主轴方向）。次大特征向量总是正交于最大特征向量（椭圆形的短轴方向）。

三、协方差矩阵的应用

协方差矩阵（散布矩阵）在模式识别中应用广泛，最典型的应用是PCA主成分分析了，PCA主要用于降维，其意义就是将样本数据从高维空间投影到低维空间中，并尽可能的在低维空间中表示原始数据。这就需要找到一组最合适的投影方向，使得样本数据往低维投影后，能尽可能表征原始的数据。此时就需要样本的协方差矩阵。PCA算法就是求出这堆样本数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，而协方差矩阵的特征向量的方向就是PCA需要投影的方向。

关于PCA的原理和分析，请见鄙人的博客：

《PCA主成分分析原理分析和Matlab实现方法》：http://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/68487833

如果你觉得该帖子帮到你，还望贵人多多支持，鄙人会再接再厉，继续努力的~