GBDT

£可爱£侵袭症+ 提交于 2019-11-30 10:39:34

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写在前面: 去年学习GBDT之初,为了加强对算法的理解,整理了一篇笔记形式的文章,发出去之后发现阅读量越来越多,渐渐也有了评论,评论中大多指出来了笔者理解或者编辑的错误,故重新编辑一版文章,内容更加翔实,并且在GitHub上实现了和本文一致的GBDT简易版(包括回归、二分类、多分类以及可视化),供大家交流探讨。感谢各位的点赞和评论,希望继续指出错误~

  Github:https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial




简介:


  GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree,梯度提升树,在传统机器学习算法中,GBDT算的上TOP3的算法。想要理解GBDT的真正意义,那就必须理解GBDT中的Gradient Boosting 和Decision Tree分别是什么?


1. Decision Tree:CART回归树


  首先,GBDT使用的决策树是CART回归树,无论是处理回归问题还是二分类以及多分类,GBDT使用的决策树通通都是都是CART回归树。为什么不用CART分类树呢?因为GBDT每次迭代要拟合的是梯度值,是连续值所以要用回归树。

  对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点,那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数,都是用纯度来衡量的,但是在回归树中的样本标签是连续数值,所以再使用熵之类的指标不再合适,取而代之的是平方误差,它能很好的评判拟合程度。




回归树生成算法:

输入:训练数据集D D:

输出:回归树f(x) f(x).

在训练数据集所在的输入空间中,递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值,构建二叉决策树:

(1)选择最优切分变量j j与切分点s s,求解

minj,s[minc1xiR1(j,s)(yic1)2+minc2xiR2(j,s)(yic2)2 ] \underset{j,s}{min}\left [ \underset{c_1}{min}\underset{x_i\in R_1(j,s)}{\sum}(y_i-c_1)^2 + \underset{c_2}{min}\underset{x_i\in R_2(j,s)}{\sum}(y_i-c_2)^2 \right ]遍历变量j j,对固定的切分变量j j扫描切分点s s,选择使得上式达到最小值的对(j,s) (j,s).

(2)用选定的对(j,s) (j,s)划分区域并决定相应的输出值:R1(j,s)=xx(j)s,R2(j,s)=xx(j)>s R_1(j,s)={x|x^{(j)}\leq s}, R_2(j,s)={x|x^{(j)}> s}cm^=1Nx1Rm(j,s)yi,xRm,m=1,2 \hat{c_m} =\frac{1}{N}\underset{x_1\in R_m(j,s)}{\sum}y_i, x \in R_m, m=1,2(3)继续对两个子区域调用步骤(1)和(2),直至满足停止条件。

(4)将输入空间划分为M M个区域 R1,R2,...RM R_1,R_2,...R_M,生成决策树:

f(x)=m=1Mc^mI(xRm) f(x)=\sum_{m=1}^{M}\hat{c}m I(x \in R_m)




2. Gradient Boosting: 拟合负梯度


  梯度提升树(Grandient Boosting)是提升树(Boosting Tree)的一种改进算法,所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。




  先来个通俗理解:假如有个人30岁,我们首先用20岁去拟合,发现损失有10岁,这时我们用6岁去拟合剩下的损失,发现差距还有4岁,第三轮我们用3岁拟合剩下的差距,差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完,可以继续迭代下面,每一轮迭代,拟合的岁数误差都会减小。最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。




提升树算法:

(1)初始化f0(x)=0 f_0(x)=0

(2)对m=1,2,...,M m=1,2,...,M

 (a)计算残差rmi=yifm1(x),i=1,2,...,N r{mi}=y_i-f_{m-1}(x), i=1,2,...,N (b)拟合残差rmi r_{mi}学习一个回归树,得到hm(x) h_m(x)

 (c)更新fm(x)=fm1+hm(x) f_m(x) = f_{m-1}+h_m(x)

(3)得到回归问题提升树fM(x)=m=1Mhm(x) f_M(x)=\sum_{m=1}^Mh_m(x)




上面伪代码中的残差是什么?

在提升树算法中,假设我们前一轮迭代得到的强学习器是ft1(x) f_{t−1}(x)损失函数是L(y,ft1(x)) L(y,f_{t−1}(x))我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器ht(x) h_t(x)最小化让本轮的损失L(y,ft(x))=L(y,ft1(x)+ht(x)) L(y,f_t(x))=L(y,f_{t−1}(x)+h_t(x))当采用平方损失函数时L(y,ft1(x)+ht(x)) L(y,f_{t−1}(x)+h_t(x))=(yft1(x)ht(x))2 =(y-f_{t−1}(x)-h_t(x))^2=(rht(x))2 =(r-h_t(x))^2这里,r=yft1(x) r=y-f_{t−1}(x)是当前模型拟合数据的残差(residual)所以,对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。

  回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中,第一次迭代的残差是10岁,第二 次残差4岁……




  当损失函数是平方损失和指数损失函数时,梯度提升树每一步优化是很简单的,但是对于一般损失函数而言,往往每一步优化起来不那么容易,针对这一问题,Friedman提出了梯度提升树算法,这是利用最速下降的近似方法,其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。

那么负梯度长什么样呢?

第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度为:Unexpected text node: '    '此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度,如果选择平方损失L(y,f(xi))=12(yf(xi))2 L(y,f(x_i)) = \frac{1}{2}(y-f(x_i))^2负梯度为Unexpected text node: '    '  此时我们发现GBDT的负梯度就是残差,所以说对于回归问题,我们要拟合的就是残差。

  那么对于分类问题呢?二分类和多分类的损失函数都是logloss log loss本文以回归问题为例进行讲解




3. GBDT算法原理


  上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了,下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。




GBDT算法:

(1)初始化弱学习器

Unexpected text node: '  '(2)对m=1,2,...,M m=1,2,...,M有:

 (a)对每个样本i=1,2,...,N i=1,2,...,N,计算负梯度,即残差

rim=[L(yi,f(xi)))f(xi)]f(x)=fm1(x) r_{im} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]{f(x) = f{m-1} (x)}

 (b)将上步得到的残差作为样本新的真实值,并将数据(xi,rim)i=1,2,..N (x_i,r_{im}), i=1,2,..N作为下棵树的训练数据,得到一颗新的回归树fm(x) f_{m} (x)其对应的叶子节点区域为Rjm,j=1,2,...,J R_{jm}, j =1,2,..., J。其中J J为回归树t的叶子节点的个数。

 (c)对叶子区域j=1,2,..J j =1,2,..J计算最佳拟合值

Unexpected text node: '  ' (d)更新强学习器

fm(x)=fm1(x)+j=1JΥjmI(xRjm) f_{m}(x) = f_{m-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}\Upsilon_{jm}I(x \in R_{jm})(3)得到最终学习器

f(x)=fM(x)=f0(x)+m=1Mj=1JΥjmI(xRjm) f(x) = f_M(x) =f_0(x) + \sum\limits_{m=1}^{M}\sum\limits_{j=1}^{J}\Upsilon_{jm}I(x \in R_{jm})




4. 实例详解


本人用python以及pandas库实现GBDT的简易版本,在下面的例子中用到的数据都在github可以找到,大家可以结合代码和下面的例子进行理解,欢迎star~

  Github:https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial




数据介绍:


  如下表所示:一组数据,特征为年龄、体重,身高为标签值。共有5条数据,前四条为训练样本,最后一条为要预测的样本。

编号 年龄(岁) 体重(kg) 身高(m)(标签值)
0 5 20 1.1
1 7 30 1.3
2 21 70 1.7
3 30 60 1.8
4(要预测的) 25 65

训练阶段:


参数设置:

  • 学习率:learning_rate=0.1
  • 迭代次数:n_trees=5
  • 树的深度:max_depth=3

1.初始化弱学习器:Unexpected text node: '  '  损失函数为平方损失,因为平方损失函数是一个凸函数,直接求导,倒数等于零,得到c c
i=1NL(yi,c))c=i=1N(12(yic)2)c=i=1Ncyi \sum\limits_{i=1}^{N}\frac{\partial L(y_i,c))}{\partial c}=\sum\limits_{i=1}^{N}\frac{\partial (\frac{1}{2}(y_i-c)^2)}{\partial c}=\sum\limits_{i=1}^{N}c-y_i令导数等于0
i=1Ncyi=0 \sum\limits_{i=1}^{N}c-y_i=0c=(i=1Nyi)/N c=(\sum\limits_{i=1}^{N}y_i)/N 所以初始化时,c c取值为所有训练样本标签值的均值。c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475 c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475,此时得到初始学习器f0(x) f_0(x)
f0(x)=c=1.475 f_0(x) = c=1.475


2.对迭代轮数m=1,2,…,M:
  由于我们设置了迭代次数:n_trees=5,这里的M=5 M=5
  计算负梯度,根据上文损失函数为平方损失时,负梯度就是残差残差,再直白一点就是 y y与上一轮得到的学习器fm1 f_{m-1}的差值
  ri1=[L(yi,f(xi)))f(xi)]f(x)=f0(x) r_{i1} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{0} (x)}
残差在下表列出:

编号 真实值 f0(x) f_{0} (x) 残差
0 1.1 1.475 -0.375
1 1.3 1.475 -0.175
2 1.7 1.475 0.225
3 1.8 1.475 0.325

此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器f1(x) f_{1} (x),即下表数据

编号 年龄(岁) 体重(kg) 标签值
0 5 20 -0.375
1 7 30 -0.175
2 21 70 0.225
3 30 60 0.325

  接着,寻找回归树的最佳划分节点,遍历每个特征的每个可能取值。从年龄特征的5开始,到体重特征的70结束,分别计算分裂后两组数据的平方损失(Square Error),SEl SE_l左节点平方损失,SEr SE_r右节点平方损失,找到使平方损失和SEsum=SEl+SEr SE_{sum}=SE_l+SE_r最小的那个划分节点,即为最佳划分节点。
  例如:以年龄7为划分节点,将小于7的样本划分为到左节点,大于等于7的样本划分为右节点。左节点包括x0 x_0,右节点包括样本x1,x2,x3 x_1,x_2,x_3SEl=0,SEr=0.140,SEsum=0.140 SE_l = 0,SE_r=0.140,SE_{sum}=0.140,所有可能划分情况如下表所示:

划分点 小于划分点的样本 大于等于划分点的样本 SEl SE_l SEr SE_r SEsum SE_{sum}
年龄5 / 0,1,2,3 0 0.327 0.327
年龄7 0 1,2,3 0 0.140 0.140
年龄21 0,1 2,3 0.020 0.005 0.025
年龄30 0,1,2 3 0.187 0 0.187
体重20 / 0,1,2,3 0 0.327 0.327
体重30 0 1,2,3 0 0.140 0.140
体重60 0,1 2,3 0.020 0.005 0.025
体重70 0,1,3 2 0.260 0 0.260

  以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点:年龄21和体重60,所以随机选一个作为划分点,这里我们选 年龄21
  现在我们的第一棵树长这个样子:
在这里插入图片描述
  我们设置的参数中树的深度max_depth=3,现在树的深度只有2,需要再进行一次划分,这次划分要对左右两个节点分别进行划分:


  对于左节点,只含有0,1两个样本,根据下表我们选择年龄7划分

划分点 小于划分点的样本 大于等于划分点的样本 SEl SE_l SEr SE_r SEsum SE_{sum}
年龄5 / 0,1 0 0.020 0.020
年龄7 0 1 0 0 0
体重20 / 0,1 0 0.020 0.020
体重30 0 1 0 0 0

  对于右节点,只含有2,3两个样本,根据下表我们选择年龄30划分(也可以选体重70

划分点 小于划分点的样本 大于等于划分点的样本 SEl SE_l SEr SE_r SEsum SE_{sum}
年龄21 / 2,3 0 0.005 0.005
年龄30 2 3 0 0 0
体重60 / 2,3 0 0.005 0.005
体重70 3 2 0 0 0

  现在我们的第一棵树长这个样子:
在这里插入图片描述
  此时我们的树深度满足了设置,还需要做一件事情,给这每个叶子节点分别赋一个参数Υ \Upsilon,来拟合残差。Unexpected text node: '  '  这里其实和上面初始化学习器是一个道理,平方损失,求导,令导数等于零,化简之后得到每个叶子节点的参数Υ \Upsilon,其实就是标签值的均值。这个地方的标签值不是原始的 y y,而是本轮要拟合的标残差 yf0(x) y-f_0(x).
  根据上述划分结果,为了方便表示,规定从左到右为第1,2,3,4 1,2,3,4个叶子结点(x0R11)Υ11=0.375 (x_0 \in R_{11}),\Upsilon_{11}=-0.375(x1R21)Υ21=0.175 (x_1 \in R_{21}),\Upsilon_{21}=-0.175(x2R31)Υ31=0.225 (x_2 \in R_{31}),\Upsilon_{31}=0.225(x3R41)Υ41=0.325 (x_3 \in R_{41}),\Upsilon_{41}=0.325
  此时的树长这个样子:
在这里插入图片描述


  此时可更新强学习器,需要用到参数学习率:learning_rate=0.1,用lr lr表示。
f1(x)=f0(x)+lrj=14Υj1I(xRj1) f_{1}(x) = f_{0}(x) + lr *\sum\limits_{j=1}^{4}\Upsilon_{j1}I(x \in R_{j1})
为什么要用学习率呢?这是Shrinkage的思想,如果每次都全部加上(学习率为1)很容易一步学到位导致过拟合。


重复此步骤,直到 m>5 m>5 结束,最后生成5棵树。
下面将展示每棵树最终的结构,这些图都是GitHub上的代码生成的,感兴趣的同学可以去一探究竟
Github:https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial
第一棵树:
在这里插入图片描述
第二棵树:
在这里插入图片描述
第三棵树:
在这里插入图片描述
第四棵树:
在这里插入图片描述
第五棵树:
在这里插入图片描述


4.得到最后的强学习器:
f(x)=f5(x)=f0(x)+m=15j=14ΥjmI(xRjm) f(x) = f_{5}(x) =f_0(x) + \sum\limits_{m=1}^{5}\sum\limits_{j=1}^{4}\Upsilon_{jm}I(x \in R_{jm})


5.预测样本5:
  f0(x)=1.475 f_0(x)=1.475
  在f1(x) f_1(x)中,样本4的年龄为25,大于划分节点21岁,又小于30岁,所以被预测为0.2250
  在f2(x) f_2(x)中,样本4的…此处省略…所以被预测为0.2025
   为什么是0.2025?这是根据第二颗树得到的,可以GitHub简单运行一下代码
  在f3(x) f_3(x)中,样本4的…此处省略…所以被预测为0.1823
  在f4(x) f_4(x)中,样本4的…此处省略…所以被预测为0.1640
  在f5(x) f_5(x)中,样本4的…此处省略…所以被预测为0.1476
最终预测结果:f(x)=1.475+0.1(0.225+0.2025+0.1823+0.164+0.1476)=1.56714 f(x) =1.475+ 0.1 * (0.225+0.2025+0.1823+0.164+0.1476) = 1.56714


4. 总结

本文章从GBDT算法的原理到实例详解进行了详细描述,但是目前只写了回归问题,GitHub上的代码也是实现了回归、二分类、多分类以及树的可视化,希望大家继续批评指正,感谢各位的关注。


参考资料

  1. 李航 《统计学习方法》
  2. Friedman J H . Greedy Function Approximation: A Gradient Boosting Machine[J]. The Annals of Statistics, 2001, 29(5):1189-1232.

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