极简数学

内容简介

《极简数学》将告诉你如何从生活场景中学习数学知识，颠覆了传统的记忆法和套用公式法。作者将数学计算与生活中的场景联系，将看似抽象、复杂的运算用实物表现了出来。利用热气球这个模型，令人头疼的数轴问题便可迎刃而解。这个竖起的数轴比横轴更直观、更管用呢。

数学经常被称为“非常困难”或“非常复杂”的学科，许多人都对它保持“戒备心”。我们在学习数学时，会通过背诵公式和定理，获得解答数学题目的办法。但对于定理和规律的记忆占据主导作用，至于对其是否理解显得并没有那么重要。

然而事实上，理解定理和规律是解题的关键，它不但可以帮助我们打破解题的瓶颈，而且有利于解决现实中的很多难题。

在这本书中，作者把代数、几何、概率、统计等学科的知识分解为生活中的场景，我们生活中的每一天都以不同的方式体现这些知识的应用。

作者简介

克里斯 · 韦林，出生于伦敦，中学数学老师，曾出版《我应该知道的数学知识》（I Used to Know That：Maths）、《从0到无穷，数学如何改变了世界》（From 0 to Infinity in 26 Centuries: The Extraordinary Story of Maths）。他的作品生动简洁，深入浅出，深受读者喜爱。

本书内容

序言

在本书的开始，我本可以讲讲数学的应用多么广泛，以及感叹一下数学的重要性。事实的确如此，但我想读者已经听够这些了，而且你之所以想读这本书，也不是出于这个原因。

在职场中具备良好的计算能力并精通数学的人往往更容易抢占先机，毕竟科技在我们的生活中正发挥着越来越重要的主导作用。具有数学思维的人的职业生涯更容易成功，但老实说，本书也不会帮你找到一份工作。

我要告诉读者的是，数学这项技能是可以学习的。很多人都患有数学焦虑症，这就像是一种疾病，病源来自那些已被“感染”的人。父母、朋友，甚至老师都可能是载体，这让我们觉得数学是专门为某些人准备的。他们学习数学时不费吹灰之力，常常让其他人看起来很笨拙。

事实并不是这样。

只要想学，任何人都可以学会数学。这是真的，与所有技能一样，数学也需要付出时间和精力。的确，有些人比别人学得快，但你学习其他事情时也是这样。我知道大家的时间都很宝贵，所以本书会把数学烹调成一些容易消化的零食。你可以利用碎片的时间学习，每栋大楼都是在前一栋基础上搭建的，这样你用不着费多大劲儿，就可以明白那些可以用来解释我们周围世界的概念。

本书可以分成几个部分。想必你已在学校里学过很多基本知识点，对于这些内容我会一笔带过，以便让读者品尝到味道醇厚的“数学佳肴”。你可以从头到尾读完本书，或者在心情愉悦的时候进来随便看看——既可以一次享用 6 道菜，也可以当作自助餐品尝！

我还收录了很多趣闻逸事，比如经典的数学规律是如何被发现的，由谁发现的，以及走过哪些弯路。除了兼具娱乐性和趣味性之外，本书还告诉我们，数学探索的历史丰富而生动，体现了我们的祖先对待生活的态度。本书也将告诉我们，即使是著名的天才数学家也必须努力工作，才能获得成功，他们也没什么与众不同。

准备享用数学的盛宴吧，希望你已经迫不及待了。

第 1 章数的分类

有 64% 的人都曾接触过“超级计算机”。

据预测，2017 年全球移动电话拥有者将达 48 亿人，而世界总人口约为 75 亿。日裔美籍物理学家加来道雄（Michio Kaku，生于 1947 年）说过：“1969 年，美国国家航空航天局（NASA）将两名宇航员送入太空时，其使用的仪器的计算能力还不如如今的手机。”

轻轻滑动一下手机，你就可以随心所欲地计算，所以为什么还要费力地学习自己计算呢？

因为通过计算，你可以了解数字是怎样运算的。研究数字运算的学科习惯上被称为算术，但如今人们用这个词来表示计算。而那些专门研究数字特性的人则被称为数字理论家。他们致力于探索宇宙的数学根基及数字的无穷本质。

真是高深莫测。

下面让我们先去动物园逛一逛。

人类与数字的接触是从数数开始的，从 1 一直向上数（都是整数），这些数字被称为自然数。把这些数字放进数学动物园里，并把每一个数字都圈到围栏中，我们就得到了：

1, 2, 3, 4, 5, 6…

古希腊人认为 0 不是自然数，因为有 0 个苹果根本说不通。但是，我们仍把 0 归为自然数，是因为从负整数过渡到自然数，0 起到了桥梁的作用。这样，我们的动物园队伍又壮大了不少：

…–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

如今，这个数学动物园包含了所有负整数，当它们与自然数结合时，就构成了“整数”。每一个正整数搭配一个负整数，动物园里的围栏比原来多了一倍，而 0 的待遇不错，它单独待在一个小屋中。可是，我的数学动物园不需要扩大地盘，因为它本来就无限大。这只是一个用来解释我在前面所说的“高深莫测”的例子。

还有一些数字不是整数。希腊人钟情于“成堆”的苹果，但我们知道“一个”苹果也可以分给很多个人。每个人都可以得到苹果的一部分，在我的动物园里就有“分数”的例子。

如果我想列出 0 和 1 之间的所有分数，那么可以从二分法开始，接下来会有三分法、四分法等，这样似乎说得通。但这种数学方法应保证把所有分数一网打尽，不能有漏网之鱼。接下来要做的就是让所有自然数都做一遍分数的分母（分式小横线下面的数字）；对于每一个分母，都可以从自然数中指定一个数当作它的分子（分式小横线上面的数字）——从 1 开始，直到与分母相同。

分数

分数表示的是整数之间的数字。书写时由一个小横线作为分界线，线上的数字是分子，线下的数字是分母。比如，二分之一可以写成下面的形式：

上式中，1 是分子，2 是分母。它表示把数字 1 分为两份。这个分数的意思是，如果你把一样东西分享给两个人，你将得到二分之一。而
表示四个人分享三样东西，每个人可以得到四分之三。

我曾经试图把 0 和 1 之间的所有分数都列出来，然后用它们来推导出相邻两个自然数之间的所有分数。如果我把 0 和 1 之间的所有分数加上 1，就会得到 1 和 2 之间的所有分数，把它们再加上 1，就可以得到 3 和 4 之间的所有分数。所有相邻自然数之间的分数都可以这样得到，同样，我也可以得到任意相邻负整数之间的分数。

我的数学动物园里本就有无穷个整数，眼下我还需要给它们之间的分数建围栏，而分数也是无穷的。也就是说，我需要无穷倍的无穷空间。听起来像是大工程，但幸运的是我的围栏也足够多。

由于分数也可以写成比值的形式，所以它们也被称为有理数。现在，我已经拥有了全部有理数，其中包含整数（整数可以写成分母为 1 的分数），整数里又包含自然数。数学动物园里的所有动物都到齐了。

请稍等。2 500 年前，一些印度数学家说，有些数字是无法写成分数的。当他们说“有些”时，实际上是指无穷多个。他们发现，找不到平方（乘以自身）后得到 2 的数，所以 2 的平方根不是有理数。这个数包含无穷多个数字，写起来很麻烦，所以在这里我们使用平方根的符号，将其写成

。

此外，还有一些重要的数字，它们不是有理数，而是用符号来表示的，如果硬要把它们写成数字，有点儿不妥，例如 π、e 和 φ。这些数我们将在后面讨论，它们叫作无理数。当然，我也要把它们放到动物园里去。猜猜连续的有理数之间有多少个无理数？没错，无穷多个！然而，我仍然可以让它们挤进我那个无穷大的动物园里，而无须再建造多余的围栏，但也许康托尔（Cantor）有话要说。

平方与平方根

当一个数与自身相乘时，我们就把这个过程叫平方。我们用一个叫作幂或指数的小“2”来表示：

3×3=32

3 的平方是 9，也就是说 3 是 9 的平方根。求平方根与平方互为逆运算。4 是 16 的平方根，因为 4 的平方是 16：

像数字 9 和 16 被称为完全平方数，因为它们的平方根是整数。任何数字，包括分数和小数，都可以计算它的平方。任何正数都有平方根。

有关这方面的更多信息，请参阅第 9 章内容。

把无理数和有理数加在一起，就是数学家所说的实数。如果你熟悉了之前的数字划分法，你也许会怀疑是不是还有非实数的存在，确实有。然而，在这里，我不会再深入下去了，而是把动物园命名为“无穷实数动物园”。大多数动物园会按种类将动物分类，所以我把动物也按数字类型分组，但这些组有些是互相重叠的。数字分类大致按下图所示，我已经把一些有代表性的数字列了出来，它们能帮助读者更好地理解数的概念：

无穷实数动物园

我必须要承认，我的动物园的建立要感谢德国数学家戴维 · 希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）。他对数学做出了巨大的贡献，但他更有名的是在这一领域的引领作用。1900 年，希尔伯特为国际数学家大会列出了 23 个尚未解决的问题（现在称为希尔伯特问题），其中 3 个至今仍未解决。有一个叫作“希尔伯特旅馆”的思维实验，上文中提到的动物园也来源于此，这个思维实验是关于希尔伯特对一家旅馆的思考。该旅馆有无穷个客房，希尔伯特说，如果我们让所有初次入住的客人搬入新房间，新房间号码是现在房间号码的两倍，那么我们仍然可以再容纳无穷多的新客人。原来的客人都住在偶数房间里，腾出来的奇数房间（无穷多个）用来迎接新来的客人。

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