线性表
引言
新生安排体检，为了 便管理与统一数据，学校特地规定了排队的方式，即按照学号排队，谁在前谁在后，这都是规定好的，所以谁在谁不在，都是非常方便统计的，同学们就像被一条线（学号）联系起来了，这种组织数据（同学）的方式我们可以称作线性表结构
定义
线性表：具有零个或多个（具有相同性质，属于同一元素的）数据元素的有限序列
若将线性表记为 ( a0 , a1,ai -1 ai ,ai +1 , ... , an - 1 , an )
注意：i 是任意数字，只为了说明相对位置，下标即其在线性表中的位置)
前继和后继：由于前后元素之间存在的是顺序关系，所以除了首尾元素外，每个元素均含有前驱和后继，简单的理解就是前一个 元素和后一个元素
空表：如果线性表中元素的个数 n 为线性表长度，那么 n = 0 的时候，线性表为空
首节点、尾节点： 上面表示中的 ：a0 称作首节点，an 称作尾节点
抽象数据类型
数据类型：一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作的总称
抽象数据类型：是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作
关于数据类型我们可以举这样一个例子
- 例如：我们常常用到的 整数型 浮点型 数据 这些都是数据的总称，所有符合其性质特征的都可以用其对应数据类型来定义，例如 520是一个满足整数特征的数据，所以可以赋值给 一个int型的变量
int love = 520;
像这些一般的数据类型通常在编程语言的内部定义封装，直接提供给用户，供其调用进行运算，而抽象数据类型一般由用户自己根据已有的数据类型进行定义
抽象数据类型和高级编程语言中的数据类型实际上是一个概念，但其含义要比普通的数据类型更加广泛、抽象
为什么说抽象呢？是因为它是我们用户为了解决实际的问题，与描述显示生活且现实生活中的实体所对应的一种数据类型，我可以定义其存储的结构，也可以定义它所能够，或者说需要进行的一些操作，例如在员工表中，添加或删除员工信息，这两部分就组成了 “员工” 这个抽象的数据类型
大致流程就是：
A：一般用户会编写一个自定义数据类型作为基础类型
- B：其中一些抽象操作就可以定义为该类型的成员函数，然后实现这些函数
- C：如果对外的接口在公有域中，就可以通过对象来调用这些操作了
当然，我们在使用抽象数据类型的时候，我们更加注意数据本身的API描述，而不会关心数据的表示，这些都是实现该抽象数据类型的开发者应该考虑的事情
线性表分为两种——顺序存储结构和链式存储结构，我们先来学习第一种
顺序存储结构
什么是顺序存储结构呢？
顺序存储结构：用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素
怎么理解这这种存储方式呢？
例如在一个菜园子中，有一片空地，我们在其中找一小块种蔬菜，因为土地不够平整疏松所以我们需要耕地，同时将种子按照一定的顺序种下去，这就是对表的初始化
菜园子可以理解为内存空间，空地可以理解为可以使用的内存空间，我们通过种蔬菜种子的方式，将一定的内存空间所占据，当然，这片空间中你所放置的数据元素都必须是相同类型的 也就是说都得是蔬菜种子，有时候有些种子被虫子咬坏了，我们就需要移除一些种子，买来以后再在空出来的位置中选地方种好，这也就是增加和删除数元素
地址计算方式
从定义中我们可以知道 这种存储方式，存储的数据是连续的，而且相同类型，所以每一个数据元素占据的存储空间是一致的，假设每个数据 占据 L个存储单元那么我们可以的出这样的结论公式
$$Loc(a_i) = Loc(a_1) + (i -1)*L$$
- i 代表所求元素的下标
- 也就是单位长度乘以对应的个数
线性表的抽象数据类型
#ifndef _LIST_H_ #define _LIST_H_ #include<iostream> using namespace std; class outOfRange{}; class badSize{}; template<class T> class List { public: // 清空线性表 virtual void clear()=0; // 判空，表空返回true，非空返回false virtual bool empty()const=0; // 求线性表的长度 virtual int size()const=0; // 在线性表中，位序为i[0..n]的位置插入元素value virtual void insert(int i,const T &value)=0; // 在线性表中，位序为i[0..n-1]的位置删除元素 virtual void remove(int i)=0; // 在线性表中，查找值为value的元素第一次出现的位序 virtual int search(const T&value)const=0; // 在线性表中，查找位序为i的元素并返回其值 virtual T visit(int i)const=0; // 遍历线性表 virtual void traverse()const=0; // 逆置线性表 virtual void inverse()=0; virtual ~List(){}; }; /*自定义异常处理类*/ class outOfRange :public exception { //用于检查范围的有效性 public: const char* what() const throw() { return "ERROR! OUT OF RANGE.\n"; } }; class badSize :public exception { //用于检查长度的有效性 public: const char* what() const throw() { return "ERROR! BAD SIZE.\n"; } }; #endif 在上面线性表的抽象数据类型中，定义了一些常用的方法，我们可以在其中根据需要，增删函数
有了这样的抽象数据类型List 我们就可以写出线性表其下的顺序结构和链式结构表的定义写出来
异常语句说明：如果new在调用分配器分配存储空间的时候出现了错误（错误信息被保存了一下），就会catch到一个bad_alloc类型的异常，其中的what函数，就是提取这个错误的基本信息的，就是一串文字，应该是const char*或者string
顺序表——顺序存储结构的定义
#ifndef _SEQLIST_H_ #define _SEQLIST_H_ #include "List.h" #include<iostream> using namespace std; //celemType为顺序表存储的元素类型 template <class elemType> class seqList: public List<elemType> { private: // 利用数组存储数据元素 elemType *data; // 当前顺序表中存储的元素个数 int curLength; // 顺序表的最大长度 int maxSize; // 表满时扩大表空间 void resize(); public: // 构造函数 seqList(int initSize = 10); // 拷贝构造函数 seqList(seqList & sl); // 析构函数 ~seqList() {delete [] data;} // 清空表，只需修改curLength void clear() {curLength = 0;} // 判空 bool empty()const{return curLength == 0;} // 返回顺序表的当前存储元素的个数 int size() const {return curLength;} // 在位置i上插入一个元素value，表的长度增1 void insert(int i,const elemType &value); // 删除位置i上的元素value，若删除位置合法，表的长度减1 void remove(int i); // 查找值为value的元素第一次出现的位序 int search(const elemType &value) const ; // 访问位序为i的元素值，“位序”0表示第一个元素，类似于数组下标 elemType visit(int i) const; // 遍历顺序表 void traverse() const; // 逆置顺序表 void inverse(); bool Union(seqList<elemType> &B); }; 顺序表基本运算的实现
(一) 构造函数
在构造函数中，我们需要完成这个空顺序表的初始化，即创建出一张空的顺序表
template <class elemType> seqList<elemType>::seqList(int initSize) { if(initSize <= 0) throw badSize(); maxSize = initSize; data = new elemType[maxSize]; curLength = 0; } 在这里我们注意区分 initSize 和 curLenght 这两个变量
- initSize ：初始化 (指定) 数组长度
- 数组长度是存放线性表的存储空间的长度，一般来说这个值是固定的，但是为了满足需要很多情况下，我们会选择动态的分配数组，即定义扩容机制，虽然很方便，但是确带来了效率的损失，我们在扩容的函数中会再提到这一问题
- curLenght：线性表长度，即数据元素的个数
(二) 拷贝构造函数
template <class elemType> seqList<elemType>::seqList(seqList & sl) { maxSize = sl.maxSize; curLength = sl.curLength; data = new elemType[maxSize]; for(int i = 0; i < curLength; ++i) data[i] = sl.data[i]; } (三) 插入
我们下面来谈一个非常常用的操作——插入操作，接着用我们一开始的例子，学校安排体检，大家自觉的按照学号顺讯排好了队伍，但是迟到的某个学生Z和认识前面队伍中的C同学，过去想套近乎，插个队，如果该同学同意了，这意味着原来C同学前面的人变成了Z，B同学后面的人也从C变成了Z同学，同时从所插入位置后面的所有同学都需要向后移动一个位置，后面的同学莫名其妙的就退后了一个位置
我们来想一下如何用代码实现它呢，并且有些什么需要特别考虑到的事情呢？
- 1、插入元素位置的合法以及有效性
- 插入的有效范围：[0,curLength] 说明：curLength：当前有效位置
- 2、检查是否表满，表满不能继续添加，否则发生溢出错误
- A：不执行操作，报错退出 (为避免可以将数组初始大小设置大一些)
- B：动态扩容，扩大数组容量 (下例采用)
- 3、首尾节点的特殊插入情况考虑
- 4、移动方向
- 利用循环，从表尾开始逐次移动，如果从插入位置开始，会将后面的未移动元素覆盖掉
template <class elemType> void seqList<elemType>::insert(int i, const elemType &value) { //合法的插入范围为【0..curlength】 if (i < 0 || i > curLength) throw outOfRange(); //表满，扩大数组容量 if (curLength == maxSize) resize(); for (int j = curLength; j > i; j--) //下标在【curlength-1..i】范围内的元素往后移动一步 data[j] = data[j - 1]; //将值为value的元素放入位序为i的位置 data[i] = value; //表长增加 ++curLength; } (四) 删除
既然理解了插入操作，趁热打铁，先认识一下对应的删除操作，这个操作是什么流程呢？还是上面的例子，插队后的同学被管理人员发现，不得不离开队伍，这样刚才被迫集体后移的那些同学就都又向前移动了一步，当然删除位置的前后继关系也发生了改变
与插入相同，它又有什么注意之处呢?
- 1、删除元素位置的合法以及有效性
- 删除的有效范围：[0,curLength - 1]
i < 0 || i > curLength- 1隐性的解决了判断空表的问题
- 删除的有效范围：[0,curLength - 1]
- 2、移动方向
- 利用循环，从删除元素的位置后开始逐次前移
template <class elemType> void seqList<elemType>::remove(int i) { //合法的删除范围 if(i < 0 || i > curLength- 1) throw outOfRange(); for(int j = i; j < curLength - 1; j++) data[j] = data[j+1]; --curLength; } (五) 扩容操作
还记得吗，我们在构造函数中，定义了数组的长度seqList<elemType>::seqList(int initSize) { 代码内容}
同时我们将这个初始化的指定参数值做为了 数组的长度
maxSize = initSize;
为什么我们不直接指定构造函数中的参数为 maxSize呢？
从变量名可以看出这是为了说明初始值和最大值不是同一个数据，也可以说是为了扩容做准备，
为什么要扩容呢？
数组中存放着线性表，但是如果线性表的长度（数据元素的个数）达到了数组长度会怎么样？很显然我们已经没有多余的空间进行例如插入这种操作，也称作表满了，所以我们定义一个扩容的操作，当涉及到可能表满的情况，就执行扩容操作
扩容是不是最好的方式？
虽然数组看起来有一丝不太灵光，但是数组确实也是存储对象或者数据的有效方式，我们也推荐这种方式，但是由于其长度固定，导致它在很多时候会受到一些限制，就例如我们上面的表满问题，那么如何解决呢？方法之一就是我们设置初始值比实际值多一些，但是由于实际值往往会有一些波动，就会导致占用过多的内存空间造成浪费，或者仍发生表满问题，为了解决实际问题，很显然还是扩容更加符合需要，但是代价就是一定的效率损失
数组就是一个简单的线性序列，这使得元素访问非常快速。但是为这种速度所付出的代价是数组对象的大小被固定，并且在其生命周期中不可改变
我们看一下扩容的基本原理你就知道原因了！
扩容思想：
由于数组空间在内存中是必须连续的，因此，扩大数组空间的操作需要重新申请一个规模更大的新数组，将原有数组的内容复制到新数组中，释放原有数组空间，将新数组作为线性表的存储区
所以为了实现空间的自动分配，尽管我们还是会首选动态扩容的方式，但是这种弹性显然需要一定的开销
template <class elemType> void seqList<elemType>::resize() { elemType *p = data; maxSize *= 2; data = new elemType[maxSize]; for(int i = 0; i < curLength; ++i) data[i] = p[i]; delete[] p; } (六) 按值查找元素
顺序查找值为value的元素第一次出现的位置，只需要遍历线性表中的每一个元素数据，依次与指定value值比较
- 相同：返回值的位序
- 注意查询的有效范围
- 找不到或错误：返回 -1
template<class elemType> int seqList<elemType>::search(const elemType & value) const { for(int i = 0; i < curLength; i++) if(value == data[i])return i; return - 1; } (七) 按位置(下标)查找元素
这个就真的很简单了，直接返回结果即可
template<class elemType> elemType seqList<elemType>::visit(int i) const { return data[i]; } (八) 遍历元素
遍历是什么意思呢？遍历其实就是每一个元素都访问一次，从头到尾过一遍，所以我们就可以利用遍历实现查询，或者输出等功能，如果表是空表，就输出信息提示，并且注意遍历的有效范围是[0，最后一个元素 - 1]
template<class elemType> void seqList<elemType>::traverse()const { if (empty()) cout << "is empty" << endl; else { cout << "output element:\n"; //依次访问顺序表中的所有元素 for (int i = 0; i < curLength; i++) cout << data[i] << " "; cout << endl; } } (九) 逆置运算
逆置运算顾名思义 ，就是将线性表中的数据颠倒一下，也就是说首元素和尾元素调换位置，然后就是第二个元素和倒数第二个元素调换，接着向中间以对为单位继续调换，也可以称作收尾对称交换，需要注意的就是循环的次数仅仅是线性表长度的一半而已
template<class elemType> void seqList<elemType>::inverse() { elemType tem; for(int i = 0; i < curLength/2; i++) { //调换的具体方式，可以设置一个中间值 tem = data[i]; //对称的两个数据 data[i] = data[curLength - i -1]; data[curLength - i -1] = tem; } } (十) 合并顺序表
现在给出两个线性表，表A和表B，其中的元素均为正序存储，如何可以合并两个表，放于A表中，但是表中的元素仍然保证正序存储
算法思想：我们分别设置三个指针，分别代表了A B C，C 代表新表，我们分别让三个指针指向三个表的末尾，将A表和B表的尾元素进行比较，然后将大的移入新A表中，然后将大的元素所在线性表的指针和新表的指针，前移一位 ，这样A和B表继续比较元素大小，重复操作，直到一方表空，将还有剩余的那个表的剩余元素移入新A表中
template<class elemType> bool seqList<elemType>::Union(seqList<elemType> &B) { int m, n, k, i, j; //当前对象为线性表A //m,n分别为线性表A和B的长度 m = this->curLength; n = B.curLength; //k为结果线性表的工作指针（下标）新A表中 k = n + m - 1; //i,j分别为线性表A和B的工作指针（下标） i = m - 1, j = n - 1; //判断表A空间是否足够大，不够则扩容 if (m + n > this->maxSize) resize(); //合并顺序表，直到一个表为空 while (i >= 0 && j >= 0) if (data[i] >= B.data[j]) data[k--] = data[i--]; //默认当前对象，this指针可省略 else data[k--] = B.data[j--]; //将表B中的剩余元素复制到表A中 while (j >= 0) data[k--] = B.data[j--]; //修改表A长度 curLength = m + n; return true; } 顺序表的优缺点
优点：
- 逻辑与物理顺序一致，顺序表能够按照下标直接快速的存取元素
- 无须为了表示表中元素之间的逻辑关系而增加额外的存储空间
缺点：
线性表长度需要初始定义，常常难以确定存储空间的容量，所以只能以降低效率的代价使用扩容机制
插入和删除操作需要移动大量的元素，效率较低
时间复杂度证明
读取：
还记的这个公式吗？
$$Loc(a_i) = Loc(a_1) + (i -1)*L$$
通过这个公式我们可以在任何时候计算出线性表中任意位置的地址，并且对于计算机所使用的时间都是相同的，即一个常数，这也就意味着，它的时间复杂度为 O(1)
插入和删除：
我们以插入为例子
首先最好的情况是这样的，元素在末尾的位置插入，这样无论该元素进行什么操作，均不会对其他元素产生什么影响，所以它的时间复杂度为 O(1)
那么最坏的情况又是这样的，元素正好插入到第一个位置上，这就意味着后面的所有元素全部需要移动一个位置，所以时间复杂度为 O(n)
平均的情况呢，由于在每一个位置插入的概率都是相同的，而插入越靠前移动的元素越多，所以平均情况就与中间那个值的一定次数相等，为 (n - 1) / 2 ，平均时间复杂度还是 O(n)
总结：
读取数据的时候，它的时间复杂度为 O(1)，插入和删除数据的时候，它的时间复杂度为 O(n)，所以线性表中的顺序表更加适合处理一些元素个数比较稳定，查询读取多的问题
结尾：
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