场景
在搜索引擎项目中，我用到了最短编辑距离算法，用于对用户输入的查询进行纠错，从而优化查询结果。比如说，我们在输入英文单词的时候，由于疏忽或者记忆不准确，会有拼写错误的情况。以单词beautiful 为例，假设我们在搜索引擎中输入beauitful（我故意拼错了），看看会发生什么。
如下图所示，虽然我把这个单词拼错了，但是查询结果提示“including results for beautiful”，也就是说，它似乎知道我的查询输入拼写错误，并根据某种算法，给我推荐了一个与之最近似的单词（大概率就是本应正确拼写的单词）。在这里，就用到了最短编辑距离算法。这个场景，也称为模糊搜索。
最短编辑距离
什么是最短编辑距离呢？假定有两个字符串s1和s2，允许对字符串进行以下三种操作：
1. 插入一个字符
2. 删除一个字符
3. 替换一个字符
将字符串s1转换成字符串s2的最少操作次数就是字符串s1和字符串s2之间的最短编辑距离。两个字符串的最短编辑距离最短，意味着两个字符串越相似。
例1 ：s1 = "geek"，s2 = "gesek"
我们只需要在s1中插入一个字符，就可以把s1转换为s2，因此，这两个字符串的最短编辑距离就是1
例2：s1 = "cat"，s2 = "cut"
我们只需要在s1中替换一个字符，就可以把s1转换为s2，因此，这两个字符串的最短编辑距离就是1
例3：s1 = "sunday"，s2 = "saturday"
由于第1个字符和最后3个字符是一样的，因此，我们只要考虑“un”和"atur"即可。首先，把'n'替换成'r'，再插入'a'、't'，因此最短编辑距离是3
以上面例3进行说明，我们从字符串的最后一位开始比较，由于最后一位都是'y'，因此，不需要任何操作，也就是说，两者的最短编辑距离等价于"sunda"和"saturda"的最短编辑距离，即d("sunday", "saturday") = d("sunda", "saturda")。因此，如果在比较的过程中遇到了相同的字符，那么二者的最短编辑距离就等价于除了这个字符之外，剩余字符的最短编辑距离，即d(i, j) = d(i-1, j-1)。
如果比较的字符不一致，比方说，现在已经比较到了"sun"和"satur"，根据允许的操作，我们有以下3种操作：
（1）插入：在s1末尾插入一个字符'r'（即"sunr"），由于此时末尾字符都是'r'，因此就变成了比较"sun"和"satu"的编辑距离，即d("sun", "satur") = d("sun", "satu") + 1，也可以写成d(i, j) = d(i, j-1) + 1。+1 表示当前进行了一次字符操作。
（2）删除：删除s1的最后一个字符，并考察s1剩下的部分与s2的距离。即d("sun", "satur") = d("su", "satur") + 1，也可以写成d(i, j) = d(i-1, j) + 1。
（3）替换：把s1的最后一个字符替换为s2的最后一个字符，即变成了"sur"，因此即d("sun", "satur") = d("su", "satu") + 1，也可以写成d(i, j) = d(i-1, j-1) + 1。
基于上述分析，我们就可以很快写出递归的代码。如下：
static int min(int x,int y,int z)
{
if (x<=y && x<=z) return x;
if (y<=x && y<=z) return y;
else return z;
}
static int editDist(String str1 , String str2 , int m ,int n)
{
// If first string is empty, the only option is to
// insert all characters of second string into first
if (m == 0) return n;
// If second string is empty, the only option is to
// remove all characters of first string
if (n == 0) return m;
// If last characters of two strings are same, nothing
// much to do. Ignore last characters and get count for
// remaining strings.
if (str1.charAt(m-1) == str2.charAt(n-1))
return editDist(str1, str2, m-1, n-1);
// If last characters are not same, consider all three
// operations on last character of first string, recursively
// compute minimum cost for all three operations and take
// minimum of three values.
return 1 + min ( editDist(str1, str2, m, n-1), // Insert
editDist(str1, str2, m-1, n), // Remove
editDist(str1, str2, m-1, n-1) // Replace
);
}
但是我们都知道递归会存在大量的重复计算，因此，显然不是最优解。在这里，我们可以利用动态规划的思想来进行优化。
假设dp[i][j]表示s1[i]与s2[j]的最短编辑距离，根据之前的分析，可以写出如下代码：
static int editDistDP(String str1, String str2, int m, int n)
{
// Create a table to store results of subproblems
int dp[][] = new int[m+1][n+1];
// Fill d[][] in bottom up manner
for (int i=0; i<=m; i++)
{
for (int j=0; j<=n; j++)
{
// If first string is empty, only option is to
// insert all characters of second string
if (i==0)
dp[i][j] = j; // Min. operations = j
// If second string is empty, only option is to
// remove all characters of second string
else if (j==0)
dp[i][j] = i; // Min. operations = i
// If last characters are same, ignore last char
// and recur for remaining string
else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1))
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
// If the last character is different, consider all
// possibilities and find the minimum
else
dp[i][j] = 1 + min(dp[i][j-1], // Insert
dp[i-1][j], // Remove
dp[i-1][j-1]); // Replace
}
}
return dp[m][n];
}
时间复杂度：O(m*n)
空间复杂度：O(m*n)
参考：