1. 前言
算法为王。
想学好前端，先练好内功，只有内功深厚者，前端之路才会走得更远。
笔者写的 JavaScript 数据结构与算法之美 系列用的语言是 JavaScript ，旨在入门数据结构与算法和方便以后复习。
之所以把 计数排序、桶排序、基数排序 放在一起比较，是因为它们的平均时间复杂度都为 O(n)。
因为这三个排序算法的时间复杂度是线性的，所以我们把这类排序算法叫作 线性排序（Linear sort）。
之所以能做到线性的时间复杂度，主要原因是，这三个算法不是基于比较的排序算法，都不涉及元素之间的比较操作。
另外，请大家带着问题来阅读下文，问题：如何根据年龄给 100 万用户排序 ？
2. 桶排序（Bucket Sort）
桶排序是计数排序的升级版，也采用了分治思想。
思想
- 将要排序的数据分到有限数量的几个有序的桶里。
- 每个桶里的数据再单独进行排序（一般用插入排序或者快速排序）。
- 桶内排完序之后，再把每个桶里的数据按照顺序依次取出，组成的序列就是有序的了。
比如：
桶排序利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。
为了使桶排序更加高效，我们需要做到这两点：
- 在额外空间充足的情况下，尽量增大桶的数量。
- 使用的映射函数能够将输入的 N 个数据均匀的分配到 K 个桶中。
桶排序的核心：就在于怎么把元素平均分配到每个桶里，合理的分配将大大提高排序的效率。
实现
// 桶排序
const bucketSort = (array, bucketSize) => {
if (array.length === 0) {
return array;
}
console.time('桶排序耗时');
let i = 0;
let minValue = array[0];
let maxValue = array[0];
for (i = 1; i < array.length; i++) {
if (array[i] < minValue) {
minValue = array[i]; //输入数据的最小值
} else if (array[i] > maxValue) {
maxValue = array[i]; //输入数据的最大值
}
}
//桶的初始化
const DEFAULT_BUCKET_SIZE = 5; //设置桶的默认数量为 5
bucketSize = bucketSize || DEFAULT_BUCKET_SIZE;
const bucketCount = Math.floor((maxValue - minValue) / bucketSize) + 1;
const buckets = new Array(bucketCount);
for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
buckets[i] = [];
}
//利用映射函数将数据分配到各个桶中
for (i = 0; i < array.length; i++) {
buckets[Math.floor((array[i] - minValue) / bucketSize)].push(array[i]);
}
array.length = 0;
for (i = 0; i < buckets.length; i++) {
quickSort(buckets[i]); //对每个桶进行排序，这里使用了快速排序
for (var j = 0; j < buckets[i].length; j++) {
array.push(buckets[i][j]);
}
}
console.timeEnd('桶排序耗时');
return array;
};
// 快速排序
const quickSort = (arr, left, right) => {
let len = arr.length,
partitionIndex;
left = typeof left != 'number' ? 0 : left;
right = typeof right != 'number' ? len - 1 : right;
if (left < right) {
partitionIndex = partition(arr, left, right);
quickSort(arr, left, partitionIndex - 1);
quickSort(arr, partitionIndex + 1, right);
}
return arr;
};
const partition = (arr, left, right) => {
//分区操作
let pivot = left, //设定基准值（pivot）
index = pivot + 1;
for (let i = index; i <= right; i++) {
if (arr[i] < arr[pivot]) {
swap(arr, i, index);
index++;
}
}
swap(arr, pivot, index - 1);
return index - 1;
};
const swap = (arr, i, j) => {
let temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
};
测试
const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2];
console.log('原始array:', array);
const newArr = bucketSort(array);
console.log('newArr:', newArr);
// 原始 array: [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]
// 堆排序耗时: 0.133056640625ms
// newArr: [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]
分析
- 第一，桶排序是原地排序算法吗 ？
因为桶排序的空间复杂度，也即内存消耗为 O(n)，所以不是原地排序算法。
- 第二，桶排序是稳定的排序算法吗 ？
取决于每个桶的排序方式，比如：快排就不稳定，归并就稳定。
- 第三，桶排序的时间复杂度是多少 ？
因为桶内部的排序可以有多种方法，是会对桶排序的时间复杂度产生很重大的影响。所以，桶排序的时间复杂度可以是多种情况的。
总的来说
最佳情况：当输入的数据可以均匀的分配到每一个桶中。
最差情况：当输入的数据被分配到了同一个桶中。
以下是桶的内部排序为快速排序的情况：
如果要排序的数据有 n 个，我们把它们均匀地划分到 m 个桶内，每个桶里就有 k =n / m 个元素。每个桶内部使用快速排序，时间复杂度为 O(k * logk)。
m 个桶排序的时间复杂度就是 O(m * k * logk)，因为 k = n / m，所以整个桶排序的时间复杂度就是 O(n*log(n/m))。
当桶的个数 m 接近数据个数 n 时，log(n/m) 就是一个非常小的常量，这个时候桶排序的时间复杂度接近 O(n)。
最佳情况：T(n) = O(n)。当输入的数据可以均匀的分配到每一个桶中。
最差情况：T(n) = O(nlogn)。当输入的数据被分配到了同一个桶中。
平均情况：T(n) = O(n)。
桶排序最好情况下使用线性时间 O(n)，桶排序的时间复杂度，取决与对各个桶之间数据进行排序的时间复杂度，因为其它部分的时间复杂度都为 O(n)。
很显然，桶划分的越小，各个桶之间的数据越少，排序所用的时间也会越少。但相应的空间消耗就会增大。
适用场景
- 桶排序比较适合用在外部排序中。
- 外部排序就是数据存储在外部磁盘且数据量大，但内存有限，无法将整个数据全部加载到内存中。
动画
3. 计数排序（Counting Sort）
思想
- 找出待排序的数组中最大和最小的元素。
- 统计数组中每个值为 i 的元素出现的次数，存入新数组 countArr 的第 i 项。
- 对所有的计数累加（从 countArr 中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）。
- 反向填充目标数组：将每个元素 i 放在新数组的第 countArr[i] 项，每放一个元素就将 countArr[i] 减去 1 。
关键在于理解最后反向填充时的操作。
使用条件
- 只能用在数据范围不大的场景中，若数据范围 k 比要排序的数据 n 大很多，就不适合用计数排序。
- 计数排序只能给非负整数排序，其他类型需要在不改变相对大小情况下，转换为非负整数。
- 比如如果考试成绩精确到小数后一位，就需要将所有分数乘以 10，转换为整数。
实现
方法一：
const countingSort = array => {
let len = array.length,
result = [],
countArr = [],
min = (max = array[0]);
console.time('计数排序耗时');
for (let i = 0; i < len; i++) {
// 获取最小，最大 值
min = min <= array[i] ? min : array[i];
max = max >= array[i] ? max : array[i];
countArr[array[i]] = countArr[array[i]] ? countArr[array[i]] + 1 : 1;
}
console.log('countArr :', countArr);
// 从最小值 -> 最大值,将计数逐项相加
for (let j = min; j < max; j++) {
countArr[j + 1] = (countArr[j + 1] || 0) + (countArr[j] || 0);
}
console.log('countArr 2:', countArr);
// countArr 中,下标为 array 数值，数据为 array 数值出现次数；反向填充数据进入 result 数据
for (let k = len - 1; k >= 0; k--) {
// result[位置] = array 数据
result[countArr[array[k]] - 1] = array[k];
// 减少 countArr 数组中保存的计数
countArr[array[k]]--;
// console.log("array[k]:", array[k], 'countArr[array[k]] :', countArr[array[k]],)
console.log('result:', result);
}
console.timeEnd('计数排序耗时');
return result;
};
测试
const array = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log('原始 array: ', array);
const newArr = countingSort(array);
console.log('newArr: ', newArr);
// 原始 array: [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 计数排序耗时: 5.6708984375ms
// newArr: [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]
方法二：
const countingSort2 = (arr, maxValue) => {
console.time('计数排序耗时');
maxValue = maxValue || arr.length;
let bucket = new Array(maxValue + 1),
sortedIndex = 0;
(arrLen = arr.length), (bucketLen = maxValue + 1);
for (let i = 0; i < arrLen; i++) {
if (!bucket[arr[i]]) {
bucket[arr[i]] = 0;
}
bucket[arr[i]]++;
}
for (let j = 0; j < bucketLen; j++) {
while (bucket[j] > 0) {
arr[sortedIndex++] = j;
bucket[j]--;
}
}
console.timeEnd('计数排序耗时');
return arr;
};
测试
const array2 = [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2];
console.log('原始 array2: ', array2);
const newArr2 = countingSort2(array2, 21);
console.log('newArr2: ', newArr2);
// 原始 array: [2, 2, 3, 8, 7, 1, 2, 2, 2, 7, 3, 9, 8, 2, 1, 4, 2, 4, 6, 9, 2]
// 计数排序耗时: 0.043212890625ms
// newArr: [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9]
例子
可以认为，计数排序其实是桶排序的一种特殊情况。
当要排序的 n 个数据，所处的范围并不大的时候，比如最大值是 k，我们就可以把数据划分成 k 个桶。每个桶内的数据值都是相同的，省掉了桶内排序的时间。
我们都经历过高考，高考查分数系统你还记得吗？我们查分数的时候，系统会显示我们的成绩以及所在省的排名。如果你所在的省有 50 万考生，如何通过成绩快速排序得出名次呢？
- 考生的满分是 900 分，最小是 0 分，这个数据的范围很小，所以我们可以分成 901 个桶，对应分数从 0 分到 900 分。
- 根据考生的成绩，我们将这 50 万考生划分到这 901 个桶里。桶内的数据都是分数相同的考生，所以并不需要再进行排序。
- 我们只需要依次扫描每个桶，将桶内的考生依次输出到一个数组中，就实现了 50 万考生的排序。
- 因为只涉及扫描遍历操作，所以时间复杂度是 O(n)。
分析
- 第一，计数排序是原地排序算法吗 ？
因为计数排序的空间复杂度为 O(k)，k 是桶的个数，所以不是原地排序算法。 - 第二，计数排序是稳定的排序算法吗 ？
计数排序不改变相同元素之间原本相对的顺序，因此它是稳定的排序算法。 - 第三，计数排序的时间复杂度是多少 ？
最佳情况：T(n) = O(n + k)
最差情况：T(n) = O(n + k)
平均情况：T(n) = O(k)
k：桶的个数。
动画
4. 基数排序（Radix Sort）
思想
基数排序是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。
由于整数也可以表达字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮点数，所以基数排序也不是只能使用于整数。
例子
假设我们有 10 万个手机号码，希望将这 10 万个手机号码从小到大排序，你有什么比较快速的排序方法呢 ？
这个问题里有这样的规律：假设要比较两个手机号码 a，b 的大小，如果在前面几位中，a 手机号码已经比 b 手机号码大了，那后面的几位就不用看了。所以是基于位来比较的。
桶排序、计数排序能派上用场吗 ？手机号码有 11 位，范围太大，显然不适合用这两种排序算法。针对这个排序问题，有没有时间复杂度是 O(n) 的算法呢 ？ 有，就是基数排序。
使用条件
- 要求数据可以分割独立的
位来比较； - 位之间由递进关系，如果 a 数据的高位比 b 数据大，那么剩下的地位就不用比较了；
- 每一位的数据范围不能太大，要可以用线性排序，否则基数排序的时间复杂度无法做到 O(n)。
方案
按照优先从高位或低位来排序有两种实现方案:
- MSD：由高位为基底，先按 k1 排序分组，同一组中记录, 关键码 k1 相等，再对各组按 k2 排序分成子组, 之后，对后面的关键码继续这样的排序分组，直到按最次位关键码 kd 对各子组排序后，再将各组连接起来，便得到一个有序序列。MSD 方式适用于位数多的序列。
- LSD：由低位为基底，先从 kd 开始排序，再对 kd - 1 进行排序，依次重复，直到对 k1 排序后便得到一个有序序列。LSD 方式适用于位数少的序列。
实现
/**
* name: 基数排序
* @param array 待排序数组
* @param max 最大位数
*/
const radixSort = (array, max) => {
console.time('计数排序耗时');
const buckets = [];
let unit = 10,
base = 1;
for (let i = 0; i < max; i++, base *= 10, unit *= 10) {
for (let j = 0; j < array.length; j++) {
let index = ~~((array[j] % unit) / base); //依次过滤出个位，十位等等数字
if (buckets[index] == null) {
buckets[index] = []; //初始化桶
}
buckets[index].push(array[j]); //往不同桶里添加数据
}
let pos = 0,
value;
for (let j = 0, length = buckets.length; j < length; j++) {
if (buckets[j] != null) {
while ((value = buckets[j].shift()) != null) {
array[pos++] = value; //将不同桶里数据挨个捞出来，为下一轮高位排序做准备，由于靠近桶底的元素排名靠前，因此从桶底先捞
}
}
}
}
console.timeEnd('计数排序耗时');
return array;
};
测试
const array = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48];
console.log('原始array:', array);
const newArr = radixSort(array, 2);
console.log('newArr:', newArr);
// 原始 array: [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]
// 堆排序耗时: 0.064208984375ms
// newArr: [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
分析
第一，基数排序是原地排序算法吗 ？
因为计数排序的空间复杂度为 O(n + k)，所以不是原地排序算法。第二，基数排序是稳定的排序算法吗 ？
基数排序不改变相同元素之间的相对顺序，因此它是稳定的排序算法。第三，基数排序的时间复杂度是多少 ？
最佳情况：T(n) = O(n * k)
最差情况：T(n) = O(n * k)
平均情况：T(n) = O(n * k)
k 是待排序列最大值。
动画
LSD 基数排序动图演示：
5. 解答开篇
回过头来看看开篇的思考题：如何根据年龄给 100 万用户排序 ？
你可能会说，我用上一节讲的归并、快排就可以搞定啊！是的，它们也可以完成功能，但是时间复杂度最低也是 O(nlogn)。
有没有更快的排序方法呢 ？以下是参考答案。
- 实际上，根据年龄给 100 万用户排序，就类似按照成绩给 50 万考生排序。
- 我们假设年龄的范围最小 1 岁，最大不超过 120 岁。
- 我们可以遍历这 100 万用户，根据年龄将其划分到这 120 个桶里，然后依次顺序遍历这 120 个桶中的元素。
- 这样就得到了按照年龄排序的 100 万用户数据。
6. 复杂性对比
基数排序 vs 计数排序 vs 桶排序
基数排序有两种方法：
- MSD 从高位开始进行排序
- LSD 从低位开始进行排序
这三种排序算法都利用了桶的概念，但对桶的使用方法上有明显差异：
- 基数排序：根据键值的每位数字来分配桶；
- 计数排序：每个桶只存储单一键值；
- 桶排序：每个桶存储一定范围的数值；
复杂性对比
| 名称 | 平均 | 最好 | 最坏 | 空间 | 稳定性 | 排序方式 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 桶排序 | O(n + k) | O(n + k) | O(n2) | O(n + k) | Yes | Out-place |
| 计数排序 | O(n + k) | O(n + k) | O(n + k) | O(k) | Yes | Out-place |
| 基数排序 | O(n * k) | O(n * k) | O(n * k) | O(n + k) | Yes | Out-place |
n: 数据规模
桶排序的时间复杂度可以是多种情况的，取决于桶内的排序。
7. 最后
文中所有的代码及测试事例都已经放到我的 GitHub 上了。
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参考文章：