机器学习排序算法:RankNet to LambdaRank to LambdaMART

守給你的承諾、 提交于 2019-11-28 23:51:31

使用机器学习排序算法LambdaMART有一段时间了,但一直没有真正弄清楚算法中的所有细节。

学习过程中细读了两篇不错的博文,推荐给大家:

梯度提升树(GBDT)原理小结

徐博From RankNet to LambdaRank to LambdaMART: An Overview

但经过一番搜寻之后发现,目前网上并没有一篇透彻讲解该算法的文章,所以希望这篇文章能够达到此目的。

本文主要参考微软研究院2010年发表的文章From RankNet to LambdaRank to LambdaMART: An Overview11,并结合自己的理解,试图将RankNet、LambdaRank和LambdaMART这三种算法的所有算法细节讲解透彻。

1. 概述

RankNet、LambdaRank和LambdaMART是三个关系非常紧密的机器学习排序算法。简而言之,RankNet是最基础,基于神经网络的排序算法;而LambdaRank在RankNet的基础上修改了梯度的计算方式,也即加入了lambda梯度;LambdaMART结合了lambda梯度和MART(另称为GBDT,梯度提升树)。这三种算法在工业界中应用广泛,在BAT等国内大厂和微软谷歌等世界互联网巨头内部都有大量应用,还曾经赢得“Yahoo!Learning To Rank Challenge(Track 1)"的冠军。本人认为如果评选当今工业界中三种最重要的机器学习算法,以LambdaMART为代表的集成学习算法肯定占有一席之地,另外两个分别是支持向量机和深度学习。

2. RankNet

2.1 算法基础定义

RankNet解决如下搜索排序问题:给定query集合,每个query都对应着一个文档集合,如何对每个query返回排序后的文档集合。可以想象这样的场景:某位高考生在得知自己的成绩后,准备报考志愿。听说最近西湖大学办得不错,所以就想到网上搜搜关于西湖大学的资料。他打开一个搜索引擎,输入“西湖大学”四个字,然后点击“搜索”,页面从上到下显示了10条搜索结果,他认为排在上面的肯定比下面的相关,所以就开始从上往下一个个地浏览。所以RankNet的目标就是对所有query,都能将其返回的文档按照相关性进行排序。

RankNet网络将输入query的特征向量xRnx∈Rn映射为一个实数f(x)Rf(x)∈R。RankNet采用pairwise的方法进行模型训练。具体地,给定特定query下的两个文档UiUi和UjUj,其特征向量分别为xixi和xjxj,经过RankNet进行前向计算得到对应的分数为si=f(xi)si=f(xi)和sj=f(xj)sj=f(xj)。用UiUjUi⊳Uj表示UiUi比UjUj排序更靠前(如对某个query来说,UiUi被标记为“good”,UjUj被标记为“bad”)。继而可以用下面的公式来表示UiUi应该比UjUj排序更靠前的概率:

PijP(UiUj)11+eσ(sisj)Pij≡P(Ui⊳Uj)≡11+e−σ(si−sj)

这个概率实际上就是深度学习中经常使用的sigmoid函数,参数σσ决定sigmoid函数的形状。对于特定的query,定义Sij{0,±1}Sij∈{0,±1}为文档ii和文档jj被标记的标签之间的关联,即

 

 

Sij=⎧⎩⎨101ijijjiSij={1文档i比文档j更相关0文档i和文档j相关性一致−1文档j比文档i更相关

 

定义P¯¯¯¯ij=12(1+Sij)P¯ij=12(1+Sij)表示UiUi应该比UjUj排序更靠前的已知概率,则可以用交叉熵定义优化目标的损失函数:

C=P¯¯¯¯ijlogPij(1P¯¯¯¯ij)log(1Pij)C=−P¯ijlogPij−(1−P¯ij)log(1−Pij)

 

如果不太熟悉什么是交叉熵,可以参考宗成庆老师的《统计自然语言处理》2.2节“信息论基本概念”,里面将熵、联合熵、互信息、相对熵、交叉熵和困惑度等概念都讲得相当清楚。

结合以上多个公式,可以改写损失函数CC为:

C=12(1Sij)σ(sisj)+log(1+eσ(sisj))C=12(1−Sij)σ(si−sj)+log(1+e−σ(si−sj))

 

对于Sij=1Sij=1,

C=log(1+eσ(sisj))C=log(1+e−σ(si−sj))

 

然而对于Sij=1Sij=−1,

C=log(1+eσ(sjsi))C=log(1+e−σ(sj−si))

 

可以看出损失函数CC具有对称性,也即交换ii和jj的位置,损失函数的值不变。

分析损失函数CC的趋势发现,如果对文档UiUi和UjUj的打分可以正确地拟合标记的标签,则CC趋向于0,否则CC趋向于线性函数。具体地,假如Sij=1Sij=1,也即UiUi应该比UjUj排序高,如果si>sjsi>sj,则拟合的分数可以正确排序文档ii和文档jj,

limsisjC=limsisjlog(1+eσ(sisj))=log1=0limsi−sj→∞C=limsi−sj→∞log(1+e−σ(si−sj))=log1=0

 

如果si<sjsi<sj,则拟合的分数不能正确排序文档ii和文档jj,

limsisjC=limsisjlog(1+eσ(sisj))=log(eσ(sisj))=σ(sisj)limsi−sj→∞C=limsi−sj→∞log(1+e−σ(si−sj))=log(e−σ(si−sj))=−σ(si−sj)

 

利用神经网络对模型进行训练,目前最有效的方法就是反向传播算法。反向传播算法中最核心部分就是损失函数对模型参数的求导,然后可以使用下面的公式对模型参数进行迭代更新:

 

wkwkηCwk=wkη(Csisiwk+Csjsjwk)wk←wk−η∂C∂wk=wk−η(∂C∂si∂si∂wk+∂C∂sj∂sj∂wk)

 

损失函数CC对sisi和sjsj的偏导数为:

Csi=σ(12(1Sij)11+eσ(sisj))=Csj∂C∂si=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))=−∂C∂sj

 

sisi和sjsj对wkwk的偏导数可根据神经网络求偏导数的方式求得。求得了损失函数CC对神经网络模型参数wkwk的偏导数之后,就可以使用梯度下降算法对其更新。这里的学习率ηη也是一个正数,因为ηη需要满足下面的不等式:

δC=kCwkδwk=kCwk(ηCwk)=ηk(Cwk)2<0δC=∑k∂C∂wkδwk=∑k∂C∂wk(−η∂C∂wk)=−η∑k(∂C∂wk)2<0

 

2.2 RankNet分解形式:加速RankNet训练过程

2.1节中定义的RankNet,对于每一个文档对(Ui(Ui,Uj)Uj)都将计算损失函数对神经网络的参数wkwk的偏导数,然后更新模型参数wkwk。这样做的缺点在于,对模型参数更新慢,耗时长。所以本节讲解如何通过分解组合的方式加快这一训练过程。

对于给定的文档对UiUi和UjUj,损失函数CC对参数wkwk的偏导数为:

Cwk=Csisiwk+Csjsjwk=σ(12(1Sij)11+eσ(sisj))(siwksjwk)=λij(siwksjwk)∂C∂wk=∂C∂si∂si∂wk+∂C∂sj∂sj∂wk=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))(∂si∂wk−∂sj∂wk)=λij(∂si∂wk−∂sj∂wk)

 

其中:

λij=C(sisj)si=σ(12(1Sij)11+eσ(sisj))λij=∂C(si−sj)∂si=σ(12(1−Sij)−11+eσ(si−sj))

 

定义II为索引对{i,j}{i,j}的集合,在不损失信息量的情况下,可以将集合II中的索引对都转换成满足UiUjUi⊳Uj的形式。另外集合II中的索引对还应该满足最多只出现一次的条件。在此基础上,累加权重参数wkwk的更新量:

δwk=η(i,j)I(λijsiwkλijsjwk)=ηiλisiwkδwk=−η∑(i,j)∈I(λij∂si∂wk−λij∂sj∂wk)=−η∑iλi∂si∂wk

 

其中:

λi=j:{i,j}Iλijj:{j,i}Iλijλi=∑j:{i,j}∈Iλij−∑j:{j,i}∈Iλij

 

通俗地说,λiλi就是集合II中所有{i,j}{i,j}的λijλij的和−集合II中所有{j,i}{j,i}的λijλij的和。如果还是不太明白,那看下面这个例子就明白了。集合I={{1,2},{2,3},{1,3}}I={{1,2},{2,3},{1,3}},则

 

δwk=η{i,j}I(λijsiwkλijsjwk)=η(λ12s1wkλ12s2wk+λ13s1wkλ13s3wk+λ23s2wkλ23s3wk)=η((λ12+λ13)s1wk+(λ23λ12)s2
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