树状数组 1 单点修改，区间查询
这个没啥好讲的，修改加查询即可，查询时利用前缀和相减即可。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1000010; int n,q,u,v,k,a[maxn]; long long c[maxn]; int lowbit(int x){ return x&(-x); } void add(int x,long long y){ for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=y; } long long ask(int x){ long long ans=0; for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=c[x]; return ans; } int main(){ scanf("%d %d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;++i){ scanf("%d",&a[i]); add(i,a[i]); } while(q--){ scanf("%d %d %d",&k,&u,&v); if(k==1){ add(u,v); } else{ printf("%lld\n",(ask(v)-ask(u-1))); } } return 0; } 树状数组 2 区间修改，单点查询
这道题还是比较简单的，树状数组仅支持“单点修改”那么我们便需要在做出一些转化来解决这个问题，我们可以新建一个数组b，起初全为0，对于每一条修改语句 "1,l,r,x"我们可以转换为
1.把b[l]加上d
2.把b[r+1]减去d
其思路就类似于差分，我们在统计前缀和时就相当将l到r这个区间加上了d，那么我们就用树状数组来维护b数组的前缀和(单点修改即可达到目的)，因为各次操作之间具有可累加性，所以在树状数组上查询b[1~x]就的处理到目前位置1指令在a[x]上操作的数值总和，再加上a[x]的值我们就得到了答案。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1000010; int n,q,u,v,k,a[maxn]; long long c[maxn]; int lowbit(int x){ return x&(-x); } void add(int x,long long y){ for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=y; } long long ask(int x){ long long ans=0; for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=c[x]; return ans; } int main(){ scanf("%d %d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;++i){ scanf("%d",&a[i]); } while(q--){ scanf("%d",&k); if(k==1){ scanf("%d %d %d",&u,&v,&k); add(u,k); add(v+1,-k); } else{ scanf("%d",&u); printf("%lld\n",(ask(u)+(long long)a[u])); } } return 0; } 树状数组 3 区间修改，区间查询
对于这道题其实和树状数组 2是差不多的，在树状数组2中我们用数组数组维护了一个数组b，对于每条指令“ 1，l，r，x”把b[l]加上d，再把b[r+1]减去d，我们以及讲了数组的前缀和 \(\sum_{i=1}^x\) b[i] 就是经过这些指令后a[x]增加的值。那么序列a的前缀和 a[1~x]整体增加的值就是：
\(\sum_{i=1}^x\) \(\sum_{j=1}^i\) b[j]
上式可以改写为
\(\sum_{i=1}^x\) \(\sum_{j=1}^i\) b[j] = \(\sum_{i=1}^x\) (x-i+1) \(\times\) b[i]= \(\sum_{i=1}^x\) b[i] - \(\sum_{i=1}^x\) i \(\times\) b[i]
本题我们可以增加一个树状数组维护i \(\times\) b[i]的前缀和 \(\sum_{i=1}^x\) i \(\times\) b[i]
，上式就可以直接计算了。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1000010; int n,q,u,v,k,a[maxn]; long long c[3][maxn],sum[maxn]; int lowbit(int x){ return x&(-x); } void add(int num ,int x,long long y){ for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[num][x]+=y; } long long ask(int num ,int x){ long long ans=0; for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=c[num][x]; return ans; } int main(){ scanf("%d %d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;++i){ scanf("%d",&a[i]); sum[i]=sum[i-1]+a[i]; } while(q--){ scanf("%d",&k); if(k==1){ scanf("%d %d %d",&u,&v,&k); add(0,u,k); add(0,v+1,-k); add(1,u,(long long)u*k); add(1,v+1,-((long long)(v+1)*k)); } else{ scanf("%d %d",&u,&v); long long ans=sum[v]+(v+1)*ask(0,v)-ask(1,v); ans-=sum[u-1]+u*ask(0,u-1)-ask(1,u-1); printf("%lld\n",ans); } } return 0; }