群的结构 | 易学教程

子群的生成

定义：设G是一个群，X是G的一个子集，设$\{H_i \}_{i \in I}$是G的包含X的所有子群，则$\bigcap_{i\in I}H_i$构成G的一个子群，叫做G的由X生成的子群，记为。

证明.
$\forall a,b\in \bigcap_{i\in I}H_i, a,b\in H_i,for\space all\space i\in I$
由于$H_i$是各自为一个群，则$ab^{-1}\in H_i,for\space all\space i\in I$
$\therefore ab^{-1}\in\bigcap_{i\in I}H_i$
$\therefore \bigcap_{i\in I}H_i$是G的一个子群

Notation： X的元素称为子群的生成元，如果X={$a_1,\cdots,a_n$}，则可以将记为<$a_1,\cdots,a_n$>。如果G=<$a_1,\cdots,a_n$>，则称G是有限生成的，特别的，如果G=<$a$>，则称G为a生成的循环群。

下面给出生成子群中元素的显示表示：
设G是一个群，X=<$a_1,\cdots,a_t$>是G的一个子集则，
={$a_1^{n_1}\cdots a_t^{n_t} | a_i\in X,n_i\in Z,1 \le i \le t$}，其中每个元素之间的运算都是群G上的运算。

元素的阶：设G是一个群，a$\in$G，则子群<$a$>的阶称为元素a的阶，记为ord<$a$>。

事实上，元素a的阶，ord<$a$>，就是满足$a^n=e$的最小正整数 n。

证明：满足ord(a) > 2的元素 a 的个数一定是偶数。
当$a=a^{-1}$时，$a^2=e$，则 ord(a) = 2
所以满足 ord(a)>2 的元素a，都满足$a\ne a^{-1}$
设ord(a) = n
$(a^{-1})^n = (a^n)^{-1}=e^{-1}=e$
假设$\exists n', 1\le n' <n$使得，$(a^{-1})^{n'}=e$
则：$a^{n'}=((a^{-1})^{-1})^{n'}=((a^{-1})^{n'})^{-1}=e^{-1}=e$
而这与ord(a)=n的前提相违背
所以$ord(a^{-1})=ord(a)=n$
综上所述，一个群中的元素的阶如果大于2，那么这个元素与它的逆元一定是不相同的，并且与逆元的阶是相等的。
所以满足ord(a) > 2的元素都是成对存在的。

循环群

在讨论群的结构时，循环群是最为简单的一种群的结构。
由上面对循环群的描述，循环群可以用集合的形式表示为：<$a$>={$a^n|n\in Z$}
也就是说循环群中的每一个元素都可以写成a的n次幂的形式，其中a$\in$G，n是一个整数。

定理：由整数上的加法构成的群Z，它的每一个子群H都是循环群，并且有H=<0>或H=<$m$>=mZ={km|k$\in$Z}，其中m是H中的最小正整数。并且如果H$\ne$<0>，则H是无限的。

证明.
当H=<0>={0}时，由于0是整数加法群的单位元，所以H是Z的一个子群。
当H$\ne$<0>时，设$a\in H,a^{-1}=-a\in H$，所以H中存在正整数的，设H中的最小的正整数为m，不妨假设a>0，则$\exists$r$\in$Z，使得 a = qm + r，其中q$\in$Z，0$\le$r<m。
如果r$\ne$0，则r= a - qm =a + q(-m)$\in$H（群的运算封闭性），这与m是H中最小的正整数的前提违背，所以r=0。而$\forall a\in H,a=km,k\in Z$，所以H是循环群。

群的进一步性质：设G是一个群，a$\in$G，则
1.当<$a$>是无限群时，有：
i)$a^k=e$，当且仅当k=0
ii)元素$a^k(k\in Z)$两两不等

证明.
考虑加群Z到群G的映射$f:n\mapsto a^n$，不难证明 f 是同态。
则由同态分解定理可得：$Z/ker(f)\cong f(Z)=<$a$>$
而由前面的定理可知，ker(f)作为Z的子群要么是<0>要么是=mZ。
$\because$<$a$>是无限的
$\therefore$ker(f)=<0>，并且<$a$>与Z/ker(f)是一对一的关系

2.当<$a$>是有限群时，设ord(a)=m，此时有：
i)m是使得$a^m=e$的最小正整数
ii)$a^k=e$，当且仅当 m | k
iii)$a^r=a^k$，当且仅当r$\equiv$k(mod m)
iv)元素$a^k(k\in Z/mZ)$两两不等
v)<$a$>={$a,a^2,\cdots,a^{m-1},a^m=e$}
vi)对任意整数1$\le$d$\le$m，有$ord(a^d)=\frac{m}{(d,m)}$

证明.
同样的，构造映射$f:n\mapsto a^n$，则$Z/ker(f)\cong f(Z)=<$a$>$
而这里<$a$>是有限的，并且ord(a)=m
所以m是使得$a^m=e$的最小正整数
而$a^k=e$等价于$k\in ker(f)$，等价于k | m，相似的，$a^r=a^k$等价于>$r-k\in ker(f)$，等价于r$\equiv$k(mod m)
因为Z/ker(f)与<$a$>是一一对应的，所以$a^k(k\in Z/mZ)$两两不等
最后一个性质：
对于群$<a^d>$，$(a^d)^k=e$等价于$dk\in ker(f)$，等价于m|dk，等价于$\frac{m}{(d,m)} | \frac{d}{(d,m)}k$，显然$\frac{m}{(d,m)}$与$\frac{d}{(d,m)}互素$，所以由此可以得到$\frac{m}{(d,m)}|k$
因此$ord(a^d)=\frac{m}{(d,m)}$

循环群的性质：设G是一个循环群.
i)如果G是无限的，则G的生成元为$a$或$a^{-1}$.
ii)如果G是有限阶m，则$a^k$是G的生成元当且仅当(k,m)=1.

定理：每个无限循环群同构于加群Z，每个阶为m的有限群同构于加群Z/mZ.
这个定理同样可以通过前面构造从整数加群到循环群G的同构映射而得到证明。

置换群

定义：设S={1,2,...,n}，称S到其自身的映射σ是一个置换，如果σ是双射，即
$\sigma:S\rightarrow S$ ($k\mapsto i_k$)
通常将 n 元置换σ写成$(\begin{matrix} 1&2&\cdots&n \\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{matrix})$

置换的乘法：设$\sigma$和$\sigma'$是S上的两个置换，则它们的乘积$\sigma\sigma'$也是S上的一个置换，且$(\sigma\sigma')(i)=\sigma(\sigma'(i))$
如果把置换看作S到自身的函数，则置换乘法就是函数复合运算。

例：令$\sigma=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&4&2&1&3 \end{matrix})$和$\sigma'=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 5&6&4&2&3&1 \end{matrix})$是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的置换，则$\sigma\sigma'=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 1&3&2&5&4&6 \end{matrix})$
即先做$\sigma'$的置换，再做$\sigma$的置换

置换的逆变换：设$\sigma=(\begin{matrix} 1&2&\cdots&n \\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{matrix})$，则其逆变换为$\sigma^{-1}=(\begin{matrix} \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \\ 1&2&\cdots&n \end{matrix})$

置换群：n元置换全体组成的集合$S_n$关于置换乘法构成一个群，其阶为$n!$.

轮换：设σ是一个n元置换，如果存在I={$i_1,i_2,\ldots,i_n$}$\subset${1,2,...,n}，使得$\sigma(i_j)=i_{j+1},\sigma(i_k)=i_1$，其中j=1,2,..,k-1，并且对任意$j\in${1,2,...,n}\I，都有$\sigma(j)=j$，那么称σ是一个k-轮换，记作($i_1,i_2,...,i_k$)。

定理：任意置换都可以表示成为不相交的轮换的乘积，且在不考虑乘法顺序的情况下，该表示是唯一的。

例：令$\sigma=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&2&4& 3 \end{matrix})$是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的一个置换，则σ可以表示为两个轮换的乘积，即
$(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&2&4& 3 \end{matrix})=(1,6,3)(2,5,4)$

轮换的乘积例题
求：(1, 3)(1, 2)
解：设$\sigma_1=(1, 3), \sigma_2=(1,2)$
(1, 3)(1, 2) = $\sigma_1 \sigma_2$
$\sigma_1\sigma_2(1)=\sigma_1(\sigma_2(1))=\sigma_1(2)=2$
$\sigma_1\sigma_2(2)=\sigma_1(\sigma_2(2))=\sigma_1(1)=3$
$\sigma_1\sigma_2(3)=\sigma_1(\sigma_2(3))=\sigma_1(3)=1$
所以(1, 3)(1, 2) = $(\begin{matrix} 1&3 \\ 3&1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1&2\\ 2&1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{matrix})$ = (1, 2, 3)

来源：https://www.cnblogs.com/Hahahang/p/11939076.html

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