首先，看看自然数的取模运算（定义1）:
如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = qd + r且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
那么对于负数，是否可以沿用这样的定义呢？我们发现，假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 的结果，就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中，2是余数，-3是商。
那么，各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢？下面是几种软件中对此的理解。
语言
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语句
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输出
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C++（G++ 编译）
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cout << (-7) % 3;
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-1
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Java（1.6）
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System.out.println((-7) % 3);
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-1
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Python 2.6
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(-7) % 3
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2
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(-7) mod 3
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2
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(-7) mod 3
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2
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可以看到，结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大多认可的是下面的这个定义2。
如果a 与d 是整数，d 非零，那么余数 r 满足这样的关系：
a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。
可以看到，这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单，比如，-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正确的结果，因为这两个数都符合定义。这种情况下，对于取模运算，可能有两个数都可以符合要求。我们把 -1 和 2 分别叫做正余数和负余数。通常，当除以d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有
r1 = r2 + d
对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。
看完了 (-7) mod 3，下面我们来看一看 7 mod (-3) 的情况（看清楚，前面是 7 带负号，现在是 3 带负号）。根据定义2，7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2，所以余数为 1 或 -2。
语言
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语句
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输出
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|---|
C++（G++ 编译）
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cout << 7 % (-3);
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1
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Java（1.6）
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System.out.println(7 % (-3));
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1
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Python 2.6
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7 % (-3)
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-2
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7 mod (-3)
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-2
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7 mod (-3)
|
-2
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从中我们看到几个很有意思的现象：
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Java 紧随 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步调一致。难道真是物以类聚？联想一下，Google 一直支持 Python，Python 也颇有 Web 特色的感觉，而且 Google Application Engine 也用的 Python，国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。
-
可以推断，C++ 和 Java 通常会尽量让商更大一些。比如在 (-7) mod 3中，他们以 -2 为商，余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中，尽量让商更小，所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同：C++ 选择了 3 作为商，Python 选择了 2 作为商。但是在正整数运算中，所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则，因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议，不会有人说它的余数是-2。
-
如果按照第二点的推断，我们测试一下 (-7) mod (-3)，结果应该是前一组语言（C++，Java）返回 2，后一组返回 -1。（请注意这只是假设）
于是我做了实际测试：
语言
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语句
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输出
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|---|
C++（G++ 编译）
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cout << -7 % (-3);
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-1
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Java（1.6）
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System.out.println(-7 % (-3));
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-1
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Python 2.6
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-7 % (-3)
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-1
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-7 mod (-3)
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-1
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|
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-7 mod (-3)
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-1
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结果让人大跌眼镜，所有语言和计算机返回结果完全一致。
总结
我们由此可以总结出下面两个结论：
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对于任何同号的两个整数，其取余结果没有争议，所有语言的运算原则都是使商尽可能小。
-
对于异号的两个整数，C++/Java语言的原则是使商尽可能大，很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。
拓展
最后是拓展时间。对于实数，我们也可以定义取模运算（定义3）。
当 a 和 d 是实数，且d 非零, a 除以 d 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数。但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 q 和唯一的实数 r 使得: a = qd + r, 0 ≤ r < |d|. （转自维基百科）
如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要，尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义。至于哪些程序语言实现了这个定义，就留给大家自己探究吧！
来源：https://www.cnblogs.com/ljy-endl/p/11406306.html
