思路:数学大汇总
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错因:有一个\(j\)写成\(i\)
题解:
求:\(x^k \equiv a \mod p\)
我们先转化一下:求出\(p\)的原根\(g\)
然后我们用\(BSGS\)可以求出 \(g^b \equiv a \mod p\),即\(a\)的指标\(b\).然后因为原根的幂可以表示\([0,p-1]\)中的任何一个数,所以设\(x=g^y\),原式可以转化成 \((g^y)^k \equiv a \mod p\),即\(g^{y*k} \equiv g^b\mod P\),所以指数满足 \(y*k \equiv b \mod \varphi(p)\),可以用\(exgcd\)解出这个方程的解。
代码:
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<map> #include<algorithm> #define ll long long #define RR register ll #define int ll #define R register int using namespace std; namespace Luitaryi { template<class I> inline I g(I& x) { x=0; register I f=1; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) f=ch=='-'?-1:f; do x=x*10+(ch^48); while(isdigit(ch=getchar())); return x*=f; } ll a,n,k,m,p,G,cnt,mem[100010],ind,ans[100010]; map<ll,ll> mp; inline ll qpow(ll a,ll b) { RR ret=1; for(;b;b>>=1,(a*=a)%=p) if(b&1) (ret*=a)%=p; return ret; } inline void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) { if(!b) {x=1,y=0; return ;} exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; } inline ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;} inline int BSGS() { R t=sqrt(p)+1; RR sum=a;//BSGS求a的指标 for(R i=1;i<=t;++i) (sum*=G)%=p,mp[sum]=i; sum=qpow(G,t); if(sum==0) return a==0?1:-1; for(R i=1;i<=t;++i) { RR tmp=qpow(sum,i); if(mp.count(tmp)&&i*t-mp[tmp]>=0) return i*t-mp[tmp]; } return -1; } inline void main() { m=g(p)-1,g(k),g(a); if(!a) return (void) printf("1\n0\n"); RR x=m; for(R i=2,lim=sqrt(m);i<=x&&i<=lim;++i) { if(x%i==0) mem[++cnt]=i; while(x%i==0) x/=i; } if(x>1) mem[++cnt]=x; //求原根 for(R i=2;i<=m;++i) { register bool flg=true; for(R j=1;j<=cnt;++j) { if(qpow(i,m/mem[j])==1) { flg=false; break; } } if(flg) {G=i; break;} } //求指标 ind=BSGS(); if(ind==-1) return (void) puts("0"); //解同余方程 RR y; RR d=gcd(k,m); if(ind%d) return (void) puts("0"); R A=k/d,B=m/d; ind/=d; exgcd(A,B,x,y); (x*=ind)%=m; x=(x%B+B)%B; cnt=0; while(x<=m) ans[++cnt]=qpow(G,x), x+=B; sort(ans+1,ans+cnt+1); printf("%lld\n",cnt); for(R i=1;i<=cnt;++i) printf("%lld ",ans[i]); } } signed main() {Luitaryi::main(); return 0;}
2019.08.22
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