Huffman编码树 | 易学教程

先简单回顾一下哈夫曼二叉树的概念:哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL=(W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+ Wn*Ln)，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

构造哈夫曼树的算法如下：

1）对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F={T1,T2,T3,...,Ti,..., Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。

2）在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。

3）从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。

4）重复2）和3），直到集合F中只有一棵二叉树为止。

下面举一个很普通的例子:

对于权2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,求具有最小带权外部路径长度的二叉树.

1>找到最小权值和次小权值2和3,然后2+3=5构成两个节点的父母,并将5作为下次合并的新权值;

/ \

2 3

2>此时权值更新为5,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41;然后按照1>的模式找到5和5 并产生其父母10，并作为下次合并的新权值;

/ \

5 5

/ \

2 3

3>同理 10,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41；

/ \

7 10

/ \

5 5

/ \

2 3

4> 17，11,13,17,19,23,29,31,37,41；

此时注意最小数和次小树不再是前两位，所以要另起一棵树,由11 和13构成；

7 10

24 /\

/\ 5 5

11 13 /\

2 3

5>好了依次比到最后:

17,17,24,19,23,29,31,37,41；

19,24,23,29,31,34,37,41;

24,29,31,34,37,41,42;

31,34,37,41,42,53;

37,41,42,53,65;

42,53,65,78;

65,78,95;

95,143;

238;

完整的树图：

238

/ \

95 143

/ \ / \

42 53 65 78

/\ / \ / \ / \

19 23 24 29 31 34 37 41

/ \ / \

11 13 17 17

/ \

7 10

/ \

5 5

2 3

对于哈夫曼树，有一个很重要的定理：对于具有n个叶子节点的哈夫曼树，共有2*n-1个节点。

构造哈夫曼树的算法的实现原理如下：对于n个叶子节点，我们根据上面的定理构造出大小为2*n-1的数组来存放整个哈夫曼树。这个数组的前n个位置存放的为已知的叶子节点，后（n-1）个位置存放的为动态生成的树内节点。在算法的大循环过程中，要做的事情就是根据位置i前面的已知节点（或者是叶节点或者是生成的树内节点），找出 parent为－1（即节点尚且是一个子树的根结点）的节点中权值最小的两个节点，然后根据这两个节点构造出位置为i的新的父节点（也就是一棵新树的根结点）。

而哈弗曼编码也类似于哈弗曼树的构建，只是要构建一串010101010111…….其核心就是使频率越高的码元采用越短的编码。编码过程就根据不同码元的频率（相当于权值）构造出哈夫曼树，然后求叶子节点到根节点的路径，其中节点的左孩子路径标识为0，右孩子路径标识为1。

下面给出Huffman算法的完整代码：

#include <stdio.h>
#define n 4
typedef struct
{
    int parent;
    int lchild,rchild;
    int weight;
    int flag;
}Node;

typedef struct
{
    char bit[n];
    int start;
    char ch;
}CodeNode;

Node haffman[7];
CodeNode code[n];

int select(int j)
{
    int i,position;
    int Min=100;
    for (i=0;i<=j;i++)
        if (haffman[i].weight<Min && haffman[i].flag==-1)
        {
            Min=haffman[i].weight;
            position=i;
        }
    haffman[position].flag=1;
    return position;
}

void haffmanCode()
{
    int i,j,p,k;

    for (i=0;i<n;i++)
    {
        printf("%d ",haffman[i].weight);
        code[i].start=n-1;
        j=i;
        p=haffman[i].parent;
        while (p!=-1)
        {
            if (haffman[p].lchild==j)
                code[i].bit[code[i].start]='0';   //左0右1;
            else
                code[i].bit[code[i].start]='1';
            code[i].start--;
            j=p;
            p=haffman[p].parent;
        }
        for(k=code[i].start+1 ;k<n ;k++)
          printf("%c",code[i].bit[k]);
        printf("\n");
    }

}

int main()
{

    int max=100 , i ;
    int m1,m2;

    //初始化节点数据;
    for (i=0;i<2*n-1;i++)
    {
        haffman[i].weight=0;
        haffman[i].parent=-1;
        haffman[i].lchild=-1;
        haffman[i].rchild=-1;
        haffman[i].flag=-1;
    }
    printf("请输入叶子节点的权值：");
    for (i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&haffman[i].weight);
    }
    //构造哈弗曼二叉树（n-1次合并）;
    for (i=n ; i<2*n-1 ;i++)
    {
        m1=select(i-1);        //最小权值位;
        m2=select(i-1);     //次最小权值;
        haffman[m1].parent=i;
        haffman[m2].parent=i;  //父节点在数组中的位置;
        haffman[i].weight=haffman[m1].weight+haffman[m2].weight;
        haffman[i].lchild=m1;
        haffman[i].rchild=m2;    //儿子节点在数组中的位置;

    }
    for (i=0 ;i<2*n-1 ;i++)
        printf("%d",haffman[i].weight);
    printf("\n");
    haffmanCode();
}

来源：http://www.cnblogs.com/gavindlutsw/archive/2011/08/07/Huffman.html

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最优二叉树算法

叶子结点